Curve

[zwan9]

Buonasera! Sono in difficoltà con un esercizio di meccanica razionale, qualcuno potrebbe darmi una mano? Vi copio il testo:

sia f una funzione reale definita sull'intervallo chiuso [a,b], ivi di classe C2. Posto vettore r(t)= t e1 + f(t) e2, con e1 e e2 versori e a<=t<=b, si consideri la curva G di equazione vettoriale:
vettore OP = vettor r(t)
Per tale curva si determino:
a) il versore tangente;
b) il versore normale principale;
c) la curvatura
nel generico punto P = (t, f(t)). A tal fine si supponga di scegliere come origine degli archi il punto A = (a, f(a)) e come verso positivo quello per cui A precede ogni punto P = (t, f(t)), con a Mi danno un suggerimento:
Sia s=Z(t)l'ascissa curv del punto P = (t, f(t)). Si valuti Z'(t) e si osservi che se vettor OP =vettor R(s) è l'equazione di G con parametro s, allora è vettor r(t) = R(Z(t)) e quindi (regola di derivazione delle funzioni composte, d/dt vettor r =d/dt vettor R d/dt vettor Z...
non ne vengo fuori! :\
Grazie anticipatamente!
Zwan

[goblyn]

La curva è:

x=t
y=f(t)

ovvero, eliminando t, y=f(x).
Il problema da te posto è quindi del tutto generale! Cioè chiedi l'espressione della curvatura di una funzione f(x). Non mi ricordo affatto le formule ma credo che tu le possa reperire abbastanza facilmente. Il suggerimento del testo indica che il risultato debba (forse) essere espresso non in funzione del parametro t, ma dell'ascissa curvilinea s (che a sua volta è una funzione di t).

s(t)=INT[a;x] sqrt(1+|f'(t)|^2)dt

Da notare che il vettore tangente è:

x'=1
y'=f'(t)

e il suo modulo è sqrt(1+|f'(t)|^2)=s'(t)

Il modulo del vettore tangente si chiama velocità (dalla cinematica). Quindi la velocità v=s'(t).

Il testo chiama s=Z(t) e poi propone di esprimere la curva in funzione di s.

s=Z(t) ==> t=Z^(-1)(s)

chiamiamo Q=Z^(-1)

allora:

t=Q(s)

La curva diventa:

x=Q(s)
y=f(Q(s))


Valutiamo Q'(s), ci servirà.

Q'(s)=dQ/ds=d(Z^(-1)(s))/ds= 1/[Z'(Q(s))]

Ora valutiamo d f(Q(s)) / ds:

d f(Q(s)) / ds = f'(Q(s))*Q'(s)=f'(Q(s))/[Z'(Q(s))]

Il vettore tangente (in funzione di s è allora):

x'(s)=Q'(s)=1/[Z'(Q(s))]
y'(s)=f'(Q(s))/[Z'(Q(s))]

Per la curvatura non mi ricordo le formule...