Curve
Ciao a tutti, ho un problema: stavo applicando definizioni e ragionamenti sulle curve ai casi che ho incontrato in cinematica, ma c'è qualcosa che non torna..
Allora supponiamo che un punto materiale si muova di moto circolare uniforme, allora una possibile parametrizzazione del sostegno è quella polare
γ(t)=(r(t),θ(t))=(R,ωt)
la funzione derivata vale
γ′(t)=(0,ω)
ma il suo modulo è diverso da quello che mi aspettavo cioè ||γ'(t)||=ωR. Dove sbaglio?
Allora supponiamo che un punto materiale si muova di moto circolare uniforme, allora una possibile parametrizzazione del sostegno è quella polare
γ(t)=(r(t),θ(t))=(R,ωt)
la funzione derivata vale
γ′(t)=(0,ω)
ma il suo modulo è diverso da quello che mi aspettavo cioè ||γ'(t)||=ωR. Dove sbaglio?
Risposte
Non credo che sia giusta quella parametrizzazione, infatti disegnando il sostegno della curva da te scritta dovrebbe venire una retta.
Scrivendola come $ gamma =(Rcos(omegat),Rsin(omegat)) $ ottieni che la funzione derivata ha il modulo da te scritto.
Scrivendola come $ gamma =(Rcos(omegat),Rsin(omegat)) $ ottieni che la funzione derivata ha il modulo da te scritto.
Quella che hai dato tu è una parametrizzazione cartesiana $\gamma:I\subseteq R\rightarrow R^{2}$ la mia è polare $\gamma:I\subseteq R\rightarrow [0,+\infty)\times R$.
E come calcoli la norma?
Immagino che tu lo faccia estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti...
Se così fosse, ti faccio notare che neanche la norma di $\gamma(t)$ è corretta.
Immagino che tu lo faccia estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti...
Se così fosse, ti faccio notare che neanche la norma di $\gamma(t)$ è corretta.
"Karima":
Quella che hai dato tu è una parametrizzazione cartesiana $\gamma:I\subseteq R\rightarrow R^{2}$ la mia è polare $\gamma:I\subseteq R\rightarrow [0,+\infty)\times R$.
Ne sei sicuro?
Prendiamo ad esempio la semicirconferenza sopra l'asse x. Come parametrizzeresti questa curva in coordinate cartesiane?
Ti faccio notare che
$x(R,\theta)=Rcos(\theta)$
$y(R,\theta)=Rsin(\theta)$
è solo un cambio di variabili che ti esprime $x$ e $y$ in funzione delle coordinate polari.
Si ok non avevo visto che la volevi in forma polare.
In ogni caso la curva da te scritta non è di certo un cerchio e non è nemmeno in forma polare.
Questa è la curva in forma polare $ gamma=(Rcostheta,Rsintheta) $ con $ theta in [0,2pi[ $
In ogni caso la curva da te scritta non è di certo un cerchio e non è nemmeno in forma polare.
Questa è la curva in forma polare $ gamma=(Rcostheta,Rsintheta) $ con $ theta in [0,2pi[ $
"Black Magic":
E come calcoli la norma?
Immagino che tu lo faccia estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti...
Se così fosse, ti faccio notare che neanche la norma di $ \gamma(t) $ è corretta.
si si lo avevo già notato
"Black Magic":
Prendiamo ad esempio la semicirconferenza sopra l'asse x. Come parametrizzeresti questa curva in coordinate cartesiane?
Ti faccio notare che
$ x(R,\theta)=Rcos(\theta) $
$ y(R,\theta)=Rsin(\theta) $
è solo un cambio di variabili che ti esprime $ x $ e $ y $ in funzione delle coordinate polari.
In questo caso particolare $y=\phi(x)$ continua, e quindi $\gamma(t)=(t,\phi(t))=(t,\sqrt{R^{2}-t^{2}})$ con $t\in[-R,R]$
nel caso della circonferenza completa a parte la parametrizzazione che hai postato, non saprei..
Quello che forse mi blocca è questo: (nel caso di $R^{2}$) ho una parametrizzazione cartesiana se la curva ha due componenti che possono assumere valori reali; ho una parametrizzazione polare se la prima di queste può assumere valori non negativi e la seconda reali.
Ora come fa $\cos t$ per $t\in [0,2k\pi]$ e $k\in N^{+}$ a non assumere valori negativi?
Come hai ben scritto, una parametrizzazione elementare di una curva cartesiana è del tipo $\gamma(t)=(t, f(t))$.
Ricordando che una curva può essere rappresentata come unione di più curve, puoi riscrivere la circonferenza parametrizzata in coordinate cartesiane.
Occhio però. Se ho ben capito cosa intendi dire alla fine
$\gamma(t) = (R, \omega t)$
Non rappresenta una circonferenza in coordinate polari.
Edit
Nel moto circolare in polari i versori non sono costanti, come accade in coordinate cartesiane.
Inoltre, non è vero che la distanza tra due punti in polari si calcola in quel modo e quindi anche la norma. Te ne puoi accorgere anche applicando banalmente il Teorema di Carnot dei coseni.
Ricordando che una curva può essere rappresentata come unione di più curve, puoi riscrivere la circonferenza parametrizzata in coordinate cartesiane.
Occhio però. Se ho ben capito cosa intendi dire alla fine
$\gamma(t) = (R, \omega t)$
Non rappresenta una circonferenza in coordinate polari.
Edit
Nel moto circolare in polari i versori non sono costanti, come accade in coordinate cartesiane.
Inoltre, non è vero che la distanza tra due punti in polari si calcola in quel modo e quindi anche la norma. Te ne puoi accorgere anche applicando banalmente il Teorema di Carnot dei coseni.
In coordinate polari il vettore posizione ha coordinate:
$\vec{R}(t)=\vec{R_0}$
Con $\theta(t)= \omega t$
Tuttavia la derivata di $\vec{R}(t)$ NON È nulla. Infatti si ha che: $|d\vec{R}(t)|=R*d\theta$
E quindi si ricava che il suo modulo è pari a $\omega * R$.
Una curva è descritta da un vettore e nel caso di coordinate polari è sufficiente solo una coordinata (il raggio) per descrivere una circonferenza.
$\vec{R}(t)=\vec{R_0}$
Con $\theta(t)= \omega t$
Tuttavia la derivata di $\vec{R}(t)$ NON È nulla. Infatti si ha che: $|d\vec{R}(t)|=R*d\theta$
E quindi si ricava che il suo modulo è pari a $\omega * R$.
Una curva è descritta da un vettore e nel caso di coordinate polari è sufficiente solo una coordinata (il raggio) per descrivere una circonferenza.
Credo di avere qualche definizione da correggere...
Allora, il libro definisce una curva $\gamma$ come una funzione continua
$$\gamma:I\rightarrow R\times...\times R=R^{m}\hspace{1 cm}\gamma(t)=(x(t),y(t),..)$$
... definizioni.. esempi .. teoremi.. poi dice che le parametrizzazioni alternative alla cartesiana quando $m=2, m=3$ sono quella polare, cilindrica, sferica (tralasciando le ultime due)
$$\gamma_{p}:I\rightarrow[0,+\infty)\times R\hspace{1 cm}\gamma(t)=(r(t),\theta(t))$$
cioè la funzione associa al valore del parametro un vettore le cui componenti sono in ordine la distanza dall'origine e l'anomalia (osservo che la prima componente non può essere negativa).
Allora io ho pensato beh in un moto circolare uniforme con polo coincidente con il centro della circonferenza $r(t)=R$ e $\theta(t)=\omega t$. Qual'è il punto della definizione che non ho capito?
Allora, il libro definisce una curva $\gamma$ come una funzione continua
$$\gamma:I\rightarrow R\times...\times R=R^{m}\hspace{1 cm}\gamma(t)=(x(t),y(t),..)$$
... definizioni.. esempi .. teoremi.. poi dice che le parametrizzazioni alternative alla cartesiana quando $m=2, m=3$ sono quella polare, cilindrica, sferica (tralasciando le ultime due)
$$\gamma_{p}:I\rightarrow[0,+\infty)\times R\hspace{1 cm}\gamma(t)=(r(t),\theta(t))$$
cioè la funzione associa al valore del parametro un vettore le cui componenti sono in ordine la distanza dall'origine e l'anomalia (osservo che la prima componente non può essere negativa).
Allora io ho pensato beh in un moto circolare uniforme con polo coincidente con il centro della circonferenza $r(t)=R$ e $\theta(t)=\omega t$. Qual'è il punto della definizione che non ho capito?
"Karima":
parametrizzazioni alternative alla cartesiana quando $m=2$ sono quella polare [...]
$$\gamma_{p}:I\rightarrow[0,+\infty)\times R\hspace{1 cm}\gamma(t)=(r(t),\theta(t))$$
cioè la funzione associa al valore del parametro un vettore le cui componenti sono in ordine la distanza dall'origine e l'anomalia (osservo che la prima componente non può essere negativa).
Certo.
Però usando una rappresentazione polare stai implicitamente cambiando il piano di riferimento; quindi è normale che non ritrovi i risultati che ti aspetti in coordinate cartesiane.
"Karima":
...
...
Allora io ho pensato beh in un moto circolare uniforme con polo coincidente con il centro della circonferenza $r(t)=R$ e $\theta(t)=\omega t$. Qual è il punto della definizione che non ho capito?
Che in coordinate rettangolari la derivata del versore è nulla perché non varia mai. In coordinate polari non è vero che il vettore $\vec{R}$ è costante, nemmeno se in modulo lo fosse, perché il suo versore cambia direzione in generale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo