Curvatura dell'analemma
Salve a tutti. Facendo qualche conto su astronomia mi sono imbattuto nella curva parametrica dell'analemma:
$$ x(t) = \arcsin(s \sin(t)), y(t)= \arctan\left[\frac{(1-c)\tan(t)}{1+c \tan(t)^2}\right]$$
ove $s = \sin(23,5°)$, $c = \cos(23,5°)$ (il seno ed il coseno dell'angolo dell'eclittica) sono delle costanti, mentre il parametro $ t\in [0,2\pi]$. Ora le simmetrie rispetto agli assi $x,y$ sono evidenti in virtù delle proprietà delle funzioni trigonometriche. In oltre si arriva con pochi conti anche alla derivata prima:
$$ x'(t) = \frac{s \cos(t)}{\sqrt{1-s^2 \sin(t)^2}}, y'(t) = \frac{(1-c)(1-c\tan(t)^2)}{[(1+c\tan(t)^2)^2+(1-c)^2\tan(t)^2] cos(t)^2}$$
Anche qui lo studio della curva $y(x)$ limitata al primo quadrante $x,y>=0$ è immediata. In oltre si calcola bene anche il massimo $ t_0= \arctan(1/sqrt{c})$. La cosa che manca da studiare sarebbe la curvatura nell'intervallo $ t\in[0,\pi/2[$, nonchè la concavità della funzione $y(x)$ nel primo quadrante. Occorrerebbe provare la curvatura negativa e dunque la convessità che ci dà la classica forma ad otto dell'analemma. Ricavare la curvatura con la formula di serre è lunga. Lo stesso dicasi per quanto riguarda al calcolo della derivata seconda di $y(x)$. Io ho provato a vedere l'espressione della tangente del vettore tangente:
$$ y'(t)/x'(t) = \frac{(1-c)(1-c\tan(t)^2) \sqrt{1-s^2 \sin(t)^2}}{[(1+c\tan(t)^2)^2+(1-c)^2\tan(t)^2] s \cos(t)^3}$$
Se riuscissi a provare che la tangente, ovvero $\frac{y'}{x'}$, è descrescente avrei provato anche la curvatura negativa, la convessità. I fattori a numeratore decrescono, mentre quelli a denominatore crescono. Esiste solo un impedimento: $ s \cos(t)^3$ !!! che decresce e rompe le uova nel paniere. Qualcuno ha per caso idea di come provare la curvatura negativa, nonchè la concavità?
$$ x(t) = \arcsin(s \sin(t)), y(t)= \arctan\left[\frac{(1-c)\tan(t)}{1+c \tan(t)^2}\right]$$
ove $s = \sin(23,5°)$, $c = \cos(23,5°)$ (il seno ed il coseno dell'angolo dell'eclittica) sono delle costanti, mentre il parametro $ t\in [0,2\pi]$. Ora le simmetrie rispetto agli assi $x,y$ sono evidenti in virtù delle proprietà delle funzioni trigonometriche. In oltre si arriva con pochi conti anche alla derivata prima:
$$ x'(t) = \frac{s \cos(t)}{\sqrt{1-s^2 \sin(t)^2}}, y'(t) = \frac{(1-c)(1-c\tan(t)^2)}{[(1+c\tan(t)^2)^2+(1-c)^2\tan(t)^2] cos(t)^2}$$
Anche qui lo studio della curva $y(x)$ limitata al primo quadrante $x,y>=0$ è immediata. In oltre si calcola bene anche il massimo $ t_0= \arctan(1/sqrt{c})$. La cosa che manca da studiare sarebbe la curvatura nell'intervallo $ t\in[0,\pi/2[$, nonchè la concavità della funzione $y(x)$ nel primo quadrante. Occorrerebbe provare la curvatura negativa e dunque la convessità che ci dà la classica forma ad otto dell'analemma. Ricavare la curvatura con la formula di serre è lunga. Lo stesso dicasi per quanto riguarda al calcolo della derivata seconda di $y(x)$. Io ho provato a vedere l'espressione della tangente del vettore tangente:
$$ y'(t)/x'(t) = \frac{(1-c)(1-c\tan(t)^2) \sqrt{1-s^2 \sin(t)^2}}{[(1+c\tan(t)^2)^2+(1-c)^2\tan(t)^2] s \cos(t)^3}$$
Se riuscissi a provare che la tangente, ovvero $\frac{y'}{x'}$, è descrescente avrei provato anche la curvatura negativa, la convessità. I fattori a numeratore decrescono, mentre quelli a denominatore crescono. Esiste solo un impedimento: $ s \cos(t)^3$ !!! che decresce e rompe le uova nel paniere. Qualcuno ha per caso idea di come provare la curvatura negativa, nonchè la concavità?
Risposte
Ho notato che hai postato la stessa domanda su Math.SE:
https://math.stackexchange.com/q/2659890/8157
Hai fatto bene, infatti vedo che hai ottenuto una signora risposta. In questi casi sempre meglio mettere un link al cross-post.
https://math.stackexchange.com/q/2659890/8157
Hai fatto bene, infatti vedo che hai ottenuto una signora risposta. In questi casi sempre meglio mettere un link al cross-post.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo