Curvatura arco parabola

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Il mio libro di analisi fa l'esempio della curvatura di un arco di parabola di equazione parametrica
$\vec r(t) = t \hati+1/2t^2 \hatj, t \in [-1,1]$
che ha per vettore curvatura $("d"\hatT(s))/("d"s)=-(t(s))/(1+t^2(s))^2 \hati+1/(1+t^2(s))^2 \hatj$
da cui ricava la curvatura $k(t)=1/(1+t^2)$. Io avrei invece calcolato
$k(s)=||("d"\hatT(s))/("d"s)||=sqrt(( -(t(s))/(1+t^2(s))^2)^2 +(1/(1+t^2(s))^2)^2) = 1/(1+t^2)^(3/2)=k(t)$
Che cosa ne pensate?
Grazie di cuore a tutti!!!

[ciampax]

Che la parametrizzazione originale non è quella dellìascissa curvilinea, quindi il metodo che usi tu è errato.

[DavideGenova1]

Grazie, Ciampax!!! Però non ho mica capito...
È il libro che calcola il vettore curvatura $("d"\hatT(s))/("d"s)=-(t(s))/(1+t^2(s))^2 \hati+1/(1+t^2(s))^2 \hatj$ perché
$s(t)=\int_{-1}^{t} sqrt(1+\tau^2) "d"\tau => s'(t)=sqrt(1+t^2)$ e quindi, senza calcolare esplicitamente* $s(t)$,
$t'(s)=1/sqrt(1+t^2(s))$, da cui
$\hatT(s)=("d"\vecr)/("d"t)("d"t)/("d"s)=1/sqrt(1+t^2(s)) \hati+(t(s))/sqrt(1+t^2(s)) \hatj$ da cui si ottiene $("d"\hatT(s))/("d"s)$ come sopra.
Ora, però, la curvatura $k(t(s))$, norma di $-(t(s))/(1+t^2(s))^2 \hati+1/(1+t^2(s))^2 \hatj$, non è $(1+t^2(s))^(-3/2)$?
Grazie di cuore di nuovo!!!

*facendo la qual cosa mi sembra che arriveremmo a $s(t)=1/2(t sqrt(1+t^2)+sinh^-1(t)+sqrt(2)+sinh^-1(1))$, ma il mio libro ha voluto abbreviare i calcoli.