Curva Semplice
Ciao,
Mi sto esercitando in prossimità dell'esame di analisi II e non mi è ben chiaro come faccio a capire se una curva è semplice o meno.
Partendo dalla definizione so che una curva è semplice se non passa per due volte dallo stesso punto a meno che non sia un punti dell'estremi.
Ora se io ho la curva definita dall'equazione parametrica $x=t^2-t^4$ e $y=t^3-t$ con $t$ tra $[-1,1]$.
Io ho trovato vari metodi per risolverlo uno di questi risolvere questa equazione $(x'(t))^2 + (y'(t))^2 =0$.
Se trovo un punto che la verifica allora la curva non è semplice.
In questo caso però mi risulta un equazione impossibile da calcolare a mano dato che si arriva a un $t^6$.
Quindi come potrei risolvere?
Mi sto esercitando in prossimità dell'esame di analisi II e non mi è ben chiaro come faccio a capire se una curva è semplice o meno.
Partendo dalla definizione so che una curva è semplice se non passa per due volte dallo stesso punto a meno che non sia un punti dell'estremi.
Ora se io ho la curva definita dall'equazione parametrica $x=t^2-t^4$ e $y=t^3-t$ con $t$ tra $[-1,1]$.
Io ho trovato vari metodi per risolverlo uno di questi risolvere questa equazione $(x'(t))^2 + (y'(t))^2 =0$.
Se trovo un punto che la verifica allora la curva non è semplice.
In questo caso però mi risulta un equazione impossibile da calcolare a mano dato che si arriva a un $t^6$.
Quindi come potrei risolvere?
Risposte
Non so cosa c'entri questo $ (x'(t))^2 + (y'(t))^2 =0 $. Puoi spiegarlo ?
In questo caso si vede bene che
$x = -t y$,
quindi se $y \ne 0$, si capisce che non ci sono due punti sovrapposti.
Cioe', anche se ci sono 2 valori di $t$ per cui
$y(t_1)= y(t_2)$,
avrai
$x(t_1)\ne x(t_2)$
perche'
$ t_1 y(t_1) \ne t_2 y(t_2)$.
Rimane da verificare cosa accade se $y=0$ , siccome in questo caso il ragionamento non vale piu'.
E infatti si vede che qualche problema c'e' perche':
$y=0$ se $t= -1, 0, 1$
Ma con quei valori di $t$ anche $x=0$, quindi, quella curva non e' semplice perche' si incrocia nell'origine.
In questo caso si vede bene che
$x = -t y$,
quindi se $y \ne 0$, si capisce che non ci sono due punti sovrapposti.
Cioe', anche se ci sono 2 valori di $t$ per cui
$y(t_1)= y(t_2)$,
avrai
$x(t_1)\ne x(t_2)$
perche'
$ t_1 y(t_1) \ne t_2 y(t_2)$.
Rimane da verificare cosa accade se $y=0$ , siccome in questo caso il ragionamento non vale piu'.
E infatti si vede che qualche problema c'e' perche':
$y=0$ se $t= -1, 0, 1$
Ma con quei valori di $t$ anche $x=0$, quindi, quella curva non e' semplice perche' si incrocia nell'origine.
Per la formula non ho una spiegazione logica era una formula che avevo trovato da qualche parte su internet, probabilmente sbagliata.
Ho capito questo esercizio, non avevo pensato al fatto che $x=-ty$ grazie!
Mi pare di capire quindi che non ci sia un procedimento sempre uguale da seguire ma per ogni caso verificare che non esistano $t_1, t_2$ tale che $(x(t_1),y(t_1)) = (x(t_2),y(t_2))$ o mi sbaglio?
C'è qualche trucchetto o semplicemente consiglio da adottare per risolvere questi esercizi?
Grazie ancora!
Ho capito questo esercizio, non avevo pensato al fatto che $x=-ty$ grazie!
Mi pare di capire quindi che non ci sia un procedimento sempre uguale da seguire ma per ogni caso verificare che non esistano $t_1, t_2$ tale che $(x(t_1),y(t_1)) = (x(t_2),y(t_2))$ o mi sbaglio?
C'è qualche trucchetto o semplicemente consiglio da adottare per risolvere questi esercizi?
Grazie ancora!
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