Curva rettificabile e lunghezza
Ciao a tutti,
ho problemi nel risolvimento di questo esercizio, più che altro non sul calcolo della lunghezza ma bensì sul dimostrare che la curva sia rettificabile. Qualcuno mi da una mano?
L'esercizio è:
Stabilire se la curva γ di parametrizzazione
x = t^2 cos(t)
y = t^2 sin(t)
z = 2t
con t ∈ [0, π]
è rettificabile, e in caso affermativo calcolarne la lunghezza.
ho problemi nel risolvimento di questo esercizio, più che altro non sul calcolo della lunghezza ma bensì sul dimostrare che la curva sia rettificabile. Qualcuno mi da una mano?
L'esercizio è:
Stabilire se la curva γ di parametrizzazione
x = t^2 cos(t)
y = t^2 sin(t)
z = 2t
con t ∈ [0, π]
è rettificabile, e in caso affermativo calcolarne la lunghezza.
Risposte
Ciao, quali sono esattamente i tuoi dubbi?
Per dimostrare che è rettificabile puoi farlo usando la definizione di rettificabilità, ovvero mostrando che:
$ Sup_(d in D)$ $ l( Gamma_d) < + infty $
Dove $l(Gamma_d)$ è la lunghezza della poligonale inscritta nella curva e individuata dalle immagini della suddivisione $d$ di $[0, pi]$ attraverso la parametrizzazione. $D$ è l'insieme di tutte le suddivisioni possibili di $[0,pi]$
Oppure, ricordando che esiste un teorema che assicura la rettificabilità delle curve regolari, cercare di capire se $gamma$ è regolare e allora il gioco è fatto
Per dimostrare che è rettificabile puoi farlo usando la definizione di rettificabilità, ovvero mostrando che:
$ Sup_(d in D)$ $ l( Gamma_d) < + infty $
Dove $l(Gamma_d)$ è la lunghezza della poligonale inscritta nella curva e individuata dalle immagini della suddivisione $d$ di $[0, pi]$ attraverso la parametrizzazione. $D$ è l'insieme di tutte le suddivisioni possibili di $[0,pi]$
Oppure, ricordando che esiste un teorema che assicura la rettificabilità delle curve regolari, cercare di capire se $gamma$ è regolare e allora il gioco è fatto
"singularity":
Ciao, quali sono esattamente i tuoi dubbi?
Per dimostrare che è rettificabile puoi farlo usando la definizione di rettificabilità, ovvero mostrando che:
$ Sup_(d in D)$ $ l( Gamma_d) < + infty $
Dove $l(Gamma_d)$ è la lunghezza della poligonale inscritta nella curva e individuata dalle immagini della suddivisione $d$ di $[0, pi]$ attraverso la parametrizzazione. $D$ è l'insieme di tutte le suddivisioni possibili di $[0,pi]$
Oppure, ricordando che esiste un teorema che assicura la rettificabilità delle curve regolari, cercare di capire se $gamma$ è regolare e allora il gioco è fatto
Perchè non sono sicura che sia corretto il metodo che utilizzo. Ti spiego
Di solito calcolo la derivata del vettore cioè in questo caso:
γ'(t) = (2t cos t+ t^2 sin t, 2t sin t+ t^2 cos t, 2)
poi vado a sostituire con t=0 e t=π
γ'(0)= (0, 0, 2)
γ'(π)= (-2π, -π^2, 2)
poichè γ'(t) è diverso da (0, 0, 0) allora la condizione è verificata e la curva è regolare. Corretto?
Esatto! La condizione $z'=2$ ti assicura la regolarità della curva. Ti sei solo persa un segno in $ x'(t)= 2tcost - t^2 sint$
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