Curva parametrica: retta tangente e integrale lungo l'arco di curva

[nikolas.fiorotto]

Buongiorno a tutti,
qualcuno potrebbe darmi una mano a risolvere il seguente esercizio?

Data la curva parametrizzata di R3: γ(t) = (2t+2, t^2, t^3/3)

1) Verificare che γ’(t) ≠ (0,0,0), per ogni t Є IR e scrivere l’equazione della retta tangente a γ in γ(-2).
2) Determinare t Є IR in modo che la retta tangente a γ in γ(t) intersechi l’asse delle quote.
3) Calcolare l’integrale della funzione f(x,y,z) = x/(12+x*(x-4)) lungo l’arco di curva γ([0,1])


SVOLGIMENTO:

1) γ’(t) = (2,2t,t^2) ≠ (0,0,0) -> verificata!
γ(-2) = (-4,4,-8/3)
γ’(-2) = (2,-4,4)

retta tangente: r = γ(-2) + γ'(-2)t = (-4,4,-8/3) + t(2,-4,4) -> { x = -4+2t, y = 4-4t, z = -8/3 + 4t

io avrei fatto in questo modo.

Per quanto riguarda il punto 2 e 3 riuscireste a darmi una mano scrivendo i passaggi?

Grazie mille in anticipo!!

[Berationalgetreal]

Per quanto riguarda il secondo, basta che ci ragioni un po' di più; non dovrebbe essere assurdo, se hai già fatto il primo. Per quanto riguarda il terzo, si ha che:

\[ \overrightarrow \gamma (t) = \left [ \begin{matrix} 2t + 2 \\ t^2 \\ \frac{t^3}{3} \end{matrix} \right ], \ \overrightarrow \gamma' (t) = \left [ \begin{matrix} 2\\2t \\t^2 \end{matrix} \right ], \ || \overrightarrow \gamma'(t)|| = \sqrt{ 4 + 4t^2 + t^4} = t^2 + 2\]

Quindi, essendo:

\[ f(\overrightarrow \gamma (t) ) = f(\gamma_x, \gamma_y, \gamma_z) = \frac{1}{4} \frac{2t +2}{t^2 + 2}\]

Si ha:

\[ \int_{0}^{1} f(\overrightarrow \gamma (t) ) \ || \overrightarrow \gamma'(t)|| \ \text{d} t = \frac{1}{4} \int_{0}^{1} [2t + 2] \ \text{d} t \]

[nikolas.fiorotto]

Ciao Berationalgetreal, grazie per la risposta. Per quanto riguarda il punto 2 potresti darmi anche solo un input per iniziare? ci ho ragionato ma non riesco ad arrivarci.

[nikolas.fiorotto]

Ciao Berationalgetreal, ho provato a risolvere il punto 2 ma non sono sicuro sia giusto.

EQUAZIONE GENERICA RETTA TANGENTE ALLA CURVA:

$r$ = $\gamma(t)$ + $s$ $\gamma'(t)$ = $((2t+2),(t^2),(t^3/3))$ + $s$ $((2),(2t),(t^2))$ = $\{(x = 2t + 2 + 2s),(y = t^2 +2st),(z = t^3/3 + st^2):}$

Per intersezione asse delle quote impongo:

$\{(2t + 2 + 2s = 0),(t^2 + 2st = 0):}$ = $\{(s = -t - 1),(t^2 - 2t^2 -2t = 0):}$ = $\{(s = -t - 1),(t (t - 2)):}$ = $\{(s = -t - 1),(t = 0),(t = 2):}$

Quindi con $t=0$ o $t=2$ la retta tangente alla curva e intersecherà asse delle quote.

In più scegliendo $t=2$ posso ricavare rispettivamente il punto sulla curva e sull'asse delle quote per cui passa la retta

$P_c$ = $((2t+2,t^2,t^3/3))$ = $((4, 4, 8/3))$

$P_(asse)$ = $\{(x = 2t + 2 + 2s),(y = t^2 +2st),(z = t^3/3 + st^2):}$ = $((0, -8, -28/3))$