Curva parametrica regolare
Buongiorno a tutti,
sono alle prese con le curve parametriche, ma non mi è ben chiaro il concetto di regolarità da un punto di vista geometrico. So che una curva è regolare se è derivabile all'interno dell'intervallo di definizione con $|\gamma'(t)|!=0, AAt$, ma cosa significa questo? Suppongo che l'idea sia quella di dare una condizione per cui è ben definita la retta tangente alla curva, ma non ne sono sicuro. È così? Ci sono altri motivi?
Grazie in anticipo!
sono alle prese con le curve parametriche, ma non mi è ben chiaro il concetto di regolarità da un punto di vista geometrico. So che una curva è regolare se è derivabile all'interno dell'intervallo di definizione con $|\gamma'(t)|!=0, AAt$, ma cosa significa questo? Suppongo che l'idea sia quella di dare una condizione per cui è ben definita la retta tangente alla curva, ma non ne sono sicuro. È così? Ci sono altri motivi?
Grazie in anticipo!
Risposte
Sì, l'idea geometrica è quella.
Il vettore $mathbf(v)=gamma^\prime (t)$ è quello che fornisce la direzione della tangente alla curva in $P=gamma(t)$.
Il vettore $mathbf(v)=gamma^\prime (t)$ è quello che fornisce la direzione della tangente alla curva in $P=gamma(t)$.
Vorrei aggiungere un "altro motivo". Connesso con quello citato da te e da gugo, eh!
In sintesi: mi aspetto che una curva regolare abbia una traiettoria (supporto? non so come sei abituato riguardo alla terminologia, ma fa lo stesso) liscia.
Se non imponi la condizione $ |\gamma'(t)|!=0, AAt $, la curva potrebbe benissimo avere degli angoli.
Immagina di partire dal punto $(1,0)$, con $t\in [0,2]$ e andare verso l'origine con $x(t)=1-t^2$ e $y(t)=0$ (per $t \in [0,1]$).
Poi dall'origine riparti con $x(t)=0$ e $y(t)=(t-1)^2$ (per $t \in [1,2]$).
Ecco, hai fatto una curva a gomito senza essere sbalzato fuori dalla macchina. Come si fa nel mondo reale: rallenti di modo che nel "gomito" hai velocità "nulla".
[size=85]sperando di non aver sbagliato i conti, con tutta la ruggine che mi ritrovo[/size]
In sintesi: mi aspetto che una curva regolare abbia una traiettoria (supporto? non so come sei abituato riguardo alla terminologia, ma fa lo stesso) liscia.
Se non imponi la condizione $ |\gamma'(t)|!=0, AAt $, la curva potrebbe benissimo avere degli angoli.
Immagina di partire dal punto $(1,0)$, con $t\in [0,2]$ e andare verso l'origine con $x(t)=1-t^2$ e $y(t)=0$ (per $t \in [0,1]$).
Poi dall'origine riparti con $x(t)=0$ e $y(t)=(t-1)^2$ (per $t \in [1,2]$).
Ecco, hai fatto una curva a gomito senza essere sbalzato fuori dalla macchina. Come si fa nel mondo reale: rallenti di modo che nel "gomito" hai velocità "nulla".
[size=85]sperando di non aver sbagliato i conti, con tutta la ruggine che mi ritrovo[/size]
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