Curva non rettificabile

[ludovica.sarandrea]

Come esempio di curva non rettificabile il nostro professore ci ha riportato il seguente esempio con relativa dimostrazione ma ho un problema su un passaggio:
La parametrizzazione e': $x(t)=(t,tcos(1/t))$ su $(0,1]$ e in 0 vale $(0,0)$
Prendo la suddivisione ${0,1/((n-1)\pi),1/((n-2)\pi),..., 1/(2\pi),1/\pi,1}$
Per definizione, la lunghezza di una spezzata poligonale e' $\sum_(i=1)^n |x(x_i)-x(x_(i-1))|$ quindi sostituendo ottengo
$\sum_(i=1)^n |(1/(i\pi)-1/((i-1)\pi), ((1/(i\pi))cos(i\pi)-(1/((i-1)\pi))cos((i-1)\pi)|$
quindi, trattandosi di segmenti devo sommare la somma delle lunghezze dei singoli segmenti che e':
$\sum_(i=1)^n (\sqrt{((1/(i\pi)-1/((i-1)\pi))^2+((1/(i\pi))cos(i\pi)-(1/((i-1)\pi))cos((i-1)\pi))^2} )\geq \sum_(i=1)^(n) ((1/(i\pi))cos(i\pi)-(1/((i-1)\pi))cos((i-1)\pi) \geq \sum_(i=1)^(n-2) ((1/(i\pi))cos(i\pi)-(1/((i+1)\pi))cos((i+1)\pi)$ e qui ho il problema, non mi torna come sono stati cambiati gli indici della sommatoria, per me c'e' un errore che pero' non riesco a correggere perche', per finire la dimostrazione ho bisogno che all'interno della sommatoria ci sia $((1/(i\pi))cos(i\pi)-(1/((i+1)\pi))cos((i+1)\pi)$ ma agli estremi non posso avere i=-1 come indice di partenza

[anonymous_0b37e9]

"ludovica_97":
... la lunghezza di una spezzata poligonale è ...

Vista la notazione che hai utilizzato, non particolarmente felice, immagino che tu intenda:

$l=\sum_{i=1}^n||vecx(t_i)-vecx(t_(i-1))|| ^^ [t_0=0] ^^ [t_n=1]$

Ad ogni modo, se la cosa ti può consolare, non particolarmente felici sono anche le notazioni della dimostrazione riportata. Insomma, se espliciti la lunghezza del primo e dell'ultimo segmento della spezzata, puoi senz'altro concludere più facilmente:

$l=sqrt(1/((n-1)^2\pi^2)+1/((n-1)^2\pi^2)cos^2(n-1)\pi)+$

$+\sum_{k=1}^{n-2}sqrt([1/(k\pi)-1/((k+1)\pi)]^2+[1/(k\pi)cosk\pi-1/((k+1)\pi)cos(k+1)\pi]^2)+$

$+sqrt((1-1/\pi)^2+(cos1-1/\picos\pi)^2) gt=$

$gt= |1/((n-1)\pi)cos(n-1)\pi|+\sum_{k=1}^{n-2}|1/(k\pi)cosk\pi-1/((k+1)\pi)cos(k+1)\pi|+|cos1-1/\picos\pi| gt=$

$gt= \sum_{k=1}^{n-2}|1/(k\pi)cosk\pi-1/((k+1)\pi)cos(k+1)\pi|$

[ludovica.sarandrea]

Ti ringrazio, ora e' chiaro