Curva limitata

[antofilo-votailprof]

Salve,
vorrei un aiuto su come studiare se la curva $x^4 + y^4 + 3xy = 2$ è limitata, senza introdurre strumenti di Geometria (credo debba essere limitata), ma con disuguaglianze.

Ho pensato in questo modo:

Poiché vale sicuramente che * $(x-y)^2 >= 0$ allora arrivo a scrivere $xy < 1/2 x^2 + 1/2 y^2$

Con questa osservazione posso scrivere
$ 2 = x^4 + y^4 + 3xy <= x^4 + y^4 +3/2 (x^2 + y^2)$ e non ottengo nulla di buono in quanto ottengo *


Potete aiutarmi?

[anonymous_0b37e9]

Mediante le coordinate polari:

$[x=\rhocos\theta] ^^ [y=\rhosin\theta] rarr$

$rarr [x^4+y^4+3xy-2=0] harr [(cos^4\theta+sin^4\theta)\rho^4+3cos\thetasin\theta\rho^2-2=0] rarr$

$rarr (1-2cos^2\thetasin^2\theta)\rho^4+3cos\thetasin\theta\rho^2-2=0 rarr$

$rarr (1-1/2sin^2 2\theta)\rho^4+3/2sin2\theta\rho^2-2=0 rarr$

$rarr (2-sin^2 2\theta)\rho^4+3sin2\theta\rho^2-4=0 rarr$

$rarr \rho^2=(-3sin2\theta+-sqrt(32-7sin^2 2\theta))/(2(2-sin^2 2\theta))$

si tratta di dimostrare che le due funzioni sottostanti sono limitate:

$f(\theta)=(-3sin2\theta+-sqrt(32-7sin^2 2\theta))/(2(2-sin^2 2\theta))$

Dominio

$[32-7sin^2 2\theta gt= 0] ^^ [2-sin^2 2\theta ne 0] rarr$

$rarr [sin^2 2\theta lt= 32/7] ^^ [sin^2 2\theta ne 2] rarr$

$rarr AA \theta in [0,2\pi]$

In definitiva, poichè le due funzioni sono ovunque definite in un intervallo chiuso e limitato (sono anche continue), per il teorema di Weierstrass sono senz'altro limitate.

[antofilo-votailprof]

"anonymous_0b37e9":

$ f(\theta)=(-3sin2\theta+-sqrt(32-7sin^2 2\theta))/(2(2-sin^2 2\theta)) $

In definitiva qui stai dimostrando che la distanza dall'origine della curva non esplode?

[anonymous_0b37e9]

Certamente. Tra l'altro, visto che:

$\rho^2=(-3sin2\theta+-sqrt(32-7sin^2 2\theta))/(2(2-sin^2 2\theta))$

affinchè le soluzioni siano accettabili si dovrebbe porre:

$[(-3sin2\theta-sqrt(32-7sin^2 2\theta))/(2(2-sin^2 2\theta))gt= 0] vv [(-3sin2\theta+sqrt(32-7sin^2 2\theta))/(2(2-sin^2 2\theta)) gt= 0]$

Tuttavia, per soddisfare la consegna, non è assolutamente necessario.