Curva in \(\mathbb{R}^2\)
Salve a tutti! 
Dovrei dimostrare che la seguente curva
\[\frac{x^{k_1}y^{k_2}}{\text{e}^{k_3x+k_4y}}=k_5\]
con \(k_i\) costanti, è chiusa.
Sinceramente non so neanche da dove partire, sicché ogni consiglio è ben accetto.
Dovrei dimostrare che la seguente curva
\[\frac{x^{k_1}y^{k_2}}{\text{e}^{k_3x+k_4y}}=k_5\]
con \(k_i\) costanti, è chiusa.
Sinceramente non so neanche da dove partire, sicché ogni consiglio è ben accetto.
Risposte
E' chiusa di sicuro?
Teoricamente si, ma provando a plottarla al computer parrebbe di no.
La precedente equazione dovrebbe essere quella che descrive le orbite "date" dal modello preda-predatore.
Dovrebbe anche essere interamente contenuta nel primo quadrante (si studia solo per \(x,y \in \mathbb{R}^{+}\))
La precedente equazione dovrebbe essere quella che descrive le orbite "date" dal modello preda-predatore.
Dovrebbe anche essere interamente contenuta nel primo quadrante (si studia solo per \(x,y \in \mathbb{R}^{+}\))
Hai provato a dimostrare prima di tutto se è contenuta in un insieme chiuso e limitato? Comunque credo che le costanti debbano essere tutte positive, giusto?
Ciao, durante la notte ci ho pensato vi dico brevemente l'idea, purtroppo oggi ho una giornata molto densa di impegni quindi non posso poi seguire la discussione.
L'idea è questa: cominciamo dal facile e assegnamo tutti 1 alle k tranne $k_5$
otteniamo $(xy)/(e^(x+y))$
Immaginiamo di volerla studiare come una funzione in due variabili dove $k_5$ sono le curve di livello.
Allora se ci limitiamo al I quadrante possiamo osservare che la nostra funzione è sempre positiva e ai confini (lungo gli assi e all'infinito dove o x o y o entrambi sono molto grandi) la nosta funzione vale 0. La funzione è continua e ci basterebbe dimostrare che ha un solo massimo (come credo) ed allora se la affettiamo con piani paralleli al piano $xy$ otteniamo solo linee chiuse, la forma sarà difficile da determinare ma a noi importa solo che sia chiusa. Poi dovremmo riuscire a dimostrare che anche cambiando le $k$, sempre positive, la posizione e l'altezza del massimo cambia, ma resta sempre un solo massimo di conseguenza le curve di livello sono sempre linee chiuse.
L'idea è questa: cominciamo dal facile e assegnamo tutti 1 alle k tranne $k_5$
otteniamo $(xy)/(e^(x+y))$
Immaginiamo di volerla studiare come una funzione in due variabili dove $k_5$ sono le curve di livello.
Allora se ci limitiamo al I quadrante possiamo osservare che la nostra funzione è sempre positiva e ai confini (lungo gli assi e all'infinito dove o x o y o entrambi sono molto grandi) la nosta funzione vale 0. La funzione è continua e ci basterebbe dimostrare che ha un solo massimo (come credo) ed allora se la affettiamo con piani paralleli al piano $xy$ otteniamo solo linee chiuse, la forma sarà difficile da determinare ma a noi importa solo che sia chiusa. Poi dovremmo riuscire a dimostrare che anche cambiando le $k$, sempre positive, la posizione e l'altezza del massimo cambia, ma resta sempre un solo massimo di conseguenza le curve di livello sono sempre linee chiuse.
L'idea di gio mi pare sensata. Comunque, si possono semplificare le cose riscrivendo quella funzione: infatti essendo $a^b=e^{b\log a}$ per $a>0$, si ottiene
${e^{k_1\log x}\cdot e^{k^2\log y}}/{e^{k_3 x+k_4 y}}=k_5$
da cui
$e^{k_1\log x+k_2\log y-(k_3 x+k_4 y)}=k_5$
e infine
$k_1\log x+k_2\log y-(k_3 x+k_4 y)=\log k_5$
A questo punto si può fare uno studio di una curva implicita che dovrebbe fornire le risposte cercate.
${e^{k_1\log x}\cdot e^{k^2\log y}}/{e^{k_3 x+k_4 y}}=k_5$
da cui
$e^{k_1\log x+k_2\log y-(k_3 x+k_4 y)}=k_5$
e infine
$k_1\log x+k_2\log y-(k_3 x+k_4 y)=\log k_5$
A questo punto si può fare uno studio di una curva implicita che dovrebbe fornire le risposte cercate.
Innanzi tutto vi ringrazio per le risposte e i suggerimenti.
Dunque, non credevo che la situazione fosse così complicata, nel senso che credevo si potesse dimostrare banalmente che la curva è chiusa.
Questo perché a lezione, senza dare giustificazioni, si arriva a concludere che le orbite sono chiuse proprio grazie alla precedente relazione.
Vedo quindi da dare ulteriori informazioni riguardo l'argomento.
Intanto mi scuso per essermi dimenticati di dire che le costanti \(k_i\) sono positive.
Detto questo, l'analisi parte dal sistema iniziale:
\[\begin{cases} \dot x = k_1x -k_2xy \\ \dot y= -k_3y+k_4xy \end{cases}\]
dividendo la seconda equazione per la prima si trova:
\[\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{-k_3y+k_4xy}{k_1x-k_2xy}\]
(passatemi le varie magie fatte con i differenziali che a voi matematici non piacciono tanto...)
separando le variabili si trova:
\[\left(\frac{k_1}{y}-k_2 \right)\text{d}y=\left(k_4-\frac{k_3}{x} \right)\text{d}x\]
integrando ambo i membri:
\[k_1\ln y -k_2y=k_4x-k_3\ln x+C\]
con \(C\) costante arbitraria.
con qualche passaggio si arriva all'espressione:
\[\frac{x^{k_3}y^{k_1}}{\text{e}^{k_4x}\text{e}^{k_2y}}=\text{e}^C\]
la quale dovrebbe dimostrare che le curve descritte nel piano \((x,y)\) sono chiuse.
Non è che magari mi è sfuggito qualcosa?
Oppure è veramente così complicata la faccenda?
Vi ringrazio per la pazienza.
Dunque, non credevo che la situazione fosse così complicata, nel senso che credevo si potesse dimostrare banalmente che la curva è chiusa.
Questo perché a lezione, senza dare giustificazioni, si arriva a concludere che le orbite sono chiuse proprio grazie alla precedente relazione.
Vedo quindi da dare ulteriori informazioni riguardo l'argomento.
Intanto mi scuso per essermi dimenticati di dire che le costanti \(k_i\) sono positive.
Detto questo, l'analisi parte dal sistema iniziale:
\[\begin{cases} \dot x = k_1x -k_2xy \\ \dot y= -k_3y+k_4xy \end{cases}\]
dividendo la seconda equazione per la prima si trova:
\[\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{-k_3y+k_4xy}{k_1x-k_2xy}\]
(passatemi le varie magie fatte con i differenziali che a voi matematici non piacciono tanto...)
separando le variabili si trova:
\[\left(\frac{k_1}{y}-k_2 \right)\text{d}y=\left(k_4-\frac{k_3}{x} \right)\text{d}x\]
integrando ambo i membri:
\[k_1\ln y -k_2y=k_4x-k_3\ln x+C\]
con \(C\) costante arbitraria.
con qualche passaggio si arriva all'espressione:
\[\frac{x^{k_3}y^{k_1}}{\text{e}^{k_4x}\text{e}^{k_2y}}=\text{e}^C\]
la quale dovrebbe dimostrare che le curve descritte nel piano \((x,y)\) sono chiuse.
Non è che magari mi è sfuggito qualcosa?
Oppure è veramente così complicata la faccenda?
Vi ringrazio per la pazienza.
Sì, come ci fossi arrivato mi era chiaro. A me non sembra però "immediato" affermare che la curva sia chiusa. Ripeto, secondo me bisogna far vedere per prima cosa che essa è contenuta in un insieme chiuso e limitato.
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