Curva definita implicitamente

[irizar1]

Buon pomeriggio a tutti,
ho il seguente esercizio che richiede l'applicazione del teorema del Dini. Non sono sicuro del corretto svolgimento tuttavia, a causa della richiesta che non capisco bene.
Verificare che il sistema di equazioni
$x_{1}+\log x_{2}+t=2$
$x_{1}-x_{2}^2+2t=1$
definisce in un intorno di $t=0$ una curva regolare che assume in $t=0$ il valore $(2,1)$. Calcolare inoltre il vettore tangente di lunghezza uno $(x'_{1}(0),x'_{2}(0))$.

Anzitutto ho verificato che il punto $(2,1,0)$ soddisfa le due equazioni e che \(\displaystyle \begin{array}|1 & 1\\1 & -2x_{2}\end{array}=-2x_{2}-1/x_{2} \) che valutato in $(2,1)$ è diverso da zero.
Calcolo ora
\(\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c} x_{1}(t)\\x_{2} (t)\end{array}\right)=-\left( \begin{array}{cc}
1 & 1/x_{2}\\
1 & -2x_{2}
\end{array} \right)^{-1}
\left( \begin{array}{c}
1\\
2
\end{array} \right)=
\left(\begin{array}{c}
\frac{-2x_{2}^{2}-2x_{2}}{-2x_{2}^{2}-1}\\
1
\end{array}\right)
\)
e valutando in $(0,0)$ ottengo quello che dovrebbe essere il vettore tangente di lunghezza uno richiesto, che a me risulta $(0,1)$.

E' corretto?
Vi ringrazio in anticipo

[dissonance]

Il procedimento è corretto, non mi ritrovo solo con il conto finale. Devi valutare in \(x_1=2, x_2=1\), ottenendo \(\dot{x}_1(0)=\frac43, \dot{x}_2(0)=1\) (sospetto ci sia un errore di conto, perché a me risulta \(-\frac43, \frac13\)). E quindi resta da normalizzare.

[irizar1]

Grazie mille! (e mi scuso per la risposta in ritardo).
Ho trovato l'errore e anche a me il vettore tangente risulta $(-4/3, 1/3)$. Per ottenere quello di lunghezza unitaria divido per la sua norma, che è $\sqrt{17}/3$, ed ottengo il vettore $(-4/\sqrt{17},1/\sqrt{17})$ che ha lunghezza unitaria.
Corretto?
Grazie

[dissonance]

È giusto