Curva: circonferenza o ellissi

[Studente Anonimo]

Ciao a tutti, una semplice domanda sulle curve.
Non ho ancora affrontato tale argomento ad analisi, ma purtroppo mi saranno necessarie alcune nozioni per lo svolgimento di alcuni esercizi di Fisica.
Ho provato a studiare i concetti basilari delle curve, ma ho pochissimo tempo purtroppo per approfondire.

Se ho due curve

$gamma_1(t) =[( bcos(bt) + 1) ; c(sin (bt) +2) ]$

$gamma_2(t) =[( bcos(bt) +2 ); (bsin (ct) +2)]$

con
$b,c in RR$
$b$ diverso da $c$

Posso dire con tranquillità che $gamma_1$ è un'ellisse, e, se se $b$ fosse stato uguale a $c$, $gamma_1$ sarebbe stata una circonferenza. E' esatto?

Cosa si può dire di $gamma_2$? Cosa succede al grafico, alla curva, quando vado a variare l'argomento all'interno di una delle funzioni sinusoidali?

In linea generale:
- se modifico il coefficiente che moltiplica le funzioni sinusoidali modifico il raggio, allargando la circonferenza/ellisse;
- se sommo o sottraggo numeri reali sposto il centro della circonferenza;
- se modifico l'argomento delle funzioni sinusoidali...?

[ciampax]

In generale l'equazione di una ellisse di centro il punto $C(x_C, y_C)$ e semiassi $a, b$ risulta, in forma parametrica, la seguente
$$\gamma(t)=\left(x_C+a\cos(\omega t),\ y_C+b\sin(\omega t)\right),\qquad t\in\left[0,\frac{2\pi}{\omega}\right]$$
Pertanto, modificare i termini costanti implica traslare il centro dell'ellisse e quindi tutta la curva.
Inoltre modificare $a,b$ modifica (nella direzione $x$ o in quella $y$ rispettivamente) la forma e l'allungamento dell'ellisse.
Ovviamente la circonferenza si ha per $a=b=r$.
Infine la modifica di $\omega$ modifica la "velocità con cui ti muovi lungo la curva (in quanto ad $\omega$ maggiori corrisponde un valore di $t$ minore per il quale compi un giro completo).

[Studente Anonimo]

"ciampax":...
$$\gamma(t)=\left(x_C+a\cos(\omega t),\ y_C+b\sin(\omega t)\right),\qquad t\in\left[0,\frac{2\pi}{\omega}\right]$$
...
Infine la modifica di $\omega$ modifica la "velocità con cui ti muovi lungo la curva (in quanto ad $\omega$ maggiori corrisponde un valore di $t$ minore per il quale compi un giro completo).

Okay.
Tuttavia non capisco come mai, se vado a disegnare una curva:

$gamma(t) =[( 3cos(6t) +2 ); (3sin (11t) +2)]$

Ottengo la seguente immagine (da Wolfram) anzichè quella di una circonferenza, come invece mi aspettavo.

[ciampax]

Se gli argomenti delle funzioni seno e coseno sono differenti non otterrai più una ellisse, ma una curva diversa: ciò è dovuto al fatto che la "periodicità" risulta modificata per le due coordinate e non c'è più una sovrapposizione regolare degli argomenti.
Del resto le notazioni che ho usato sono chiare: devi avere lo stesso valore di $\omega$ per ottenere le curve di cui sopra.

[Studente Anonimo]

"ciampax":..ciò è dovuto al fatto che la "periodicità" risulta modificata per le due coordinate e non c'è più una sovrapposizione regolare degli argomenti.
....

Perfetto, grazie!