Curiosità/dubbio sui complessi

[AnalisiZero]

Ciao,

Sappiamo che un numero complesso scritto in forma algebrica è rappresentato da una scrittura del tipo:
$z=a+ib$ con $a,b in RR$.
Mi chiedevo: perché si scrivono come somma di un reale e di un multiplo dell'unità immaginaria? Visto che l'unica cosa che li caratterizza è proprio l'unità immaginaria, perché non si scrivono solo con i suoi multipli? Non potremmo considerare un "complesso" del tipo $ib$ e poi considerare una somma con un reale senza includerla nella definizione di forma algebrica?
Spero sia chiaro.
Grazie.

[axpgn]

Premesso che qualcuno ti risponderà in maniera più completa ed esauriente, quella è solo la rappresentazione di un numero complesso (anzi "una" delle rappresentazioni).
Quella che io conosco, definisce i numeri complessi come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali dove sono state definite due operazioni (addizione e moltiplicazione) in un certo modo.

Cordialmente, Alex

[@melia]

Quelli che intendi tu sono i numeri immaginari, e un numero complesso è la somma di un numero reale, eventualmente nullo, con un numero immaginario, e anche questo potrebbe avere coefficiente nullo.
Gli immaginari non sono un insieme chiuso per la moltiplicazione, quindi da soli non sono molto utili: $ib*ic=-bc$

[AnalisiZero]

"@melia":Gli immaginari non sono un insieme chiuso per la moltiplicazione, quindi da soli non sono molto utili: $ib*ic=-bc$

Questo già mi convince. Grazie.

[axpgn]

E perché il mio post non ti convince, di grazia? Davo per scontato che non stessi parlando dei cosiddetti "immaginari puri" perché così fosse significa che non hai compreso appieno il significato di "numero complesso".
Peraltro vorrei farti notare che il simbolo $i$ non è il punto di partenza su cui costruire i numeri complessi ma una conseguenza ovvero un modo intelligente per rappresentarli "facilmente" e per poter usare le usuali operazioni algebriche.

Cordialmente, Alex

[AnalisiZero]

"axpgn":E perché il mio post non ti convince, di grazia? Davo per scontato che non stessi parlando dei cosiddetti "immaginari puri" perché così fosse significa che non hai compreso appieno il significato di "numero complesso".
Peraltro vorrei farti notare che il simbolo $i$ non è il punto di partenza su cui costruire i numeri complessi ma una conseguenza ovvero un modo intelligente per rappresentarli "facilmente" e per poter usare le usuali operazioni algebriche.

Cordialmente, Alex

Nel primo messaggio ho scritto chiaramente che non ho capito perché si scrive un complesso come somma di un reale e di un multiplo dell'unità immaginaria (cioè un puramente immaginario). Comunque ho capito la questione sul punto di partenza, partendo dalle coppie ordinate la forma algebrica si spiega da sola. Grazie.

[dissonance]

"@melia":
Gli immaginari non sono un insieme chiuso per la moltiplicazione, quindi da soli non sono molto utili: $ib*ic=-bc$

Bella risposta!

[gugo82]

"AnalisiZero":Ciao,

Sappiamo che un numero complesso scritto in forma algebrica è rappresentato da una scrittura del tipo:
$z=a+ib$ con $a,b in RR$.
Mi chiedevo: perché si scrivono come somma di un reale e di un multiplo dell'unità immaginaria? Visto che l'unica cosa che li caratterizza è proprio l'unità immaginaria, perché non si scrivono solo con i suoi multipli? Non potremmo considerare un "complesso" del tipo $ib$ e poi considerare una somma con un reale senza includerla nella definizione di forma algebrica?

La questione (come quasi tutte quelle legate alle rappresentazioni di oggetti) si capisce bene se si comprende bene cos’è un numero complesso.
Ti rispondo perciò con una domanda: che cos’è un numero complesso?
O, detto in altri termini, qual è la definizione di numero complesso che hai sotto mano?

Una volta capita la definizione è capito dove ti porta, capire perché la rappresentazione in forma algebrica sia quella che è è molto semplice (si tratta di smanettare un po’ coi conti).

[AnalisiZero]

"gugo82":[quote="AnalisiZero"]Ciao,

Sappiamo che un numero complesso scritto in forma algebrica è rappresentato da una scrittura del tipo:
$z=a+ib$ con $a,b in RR$.
Mi chiedevo: perché si scrivono come somma di un reale e di un multiplo dell'unità immaginaria? Visto che l'unica cosa che li caratterizza è proprio l'unità immaginaria, perché non si scrivono solo con i suoi multipli? Non potremmo considerare un "complesso" del tipo $ib$ e poi considerare una somma con un reale senza includerla nella definizione di forma algebrica?

La questione (come quasi tutte quelle legate alle rappresentazioni di oggetti) si capisce bene se si comprende bene cos’è un numero complesso.
Ti rispondo perciò con una domanda: che cos’è un numero complesso?
O, detto in altri termini, qual è la definizione di numero complesso che hai sotto mano?

Una volta capita la definizione è capito dove ti porta, capire perché la rappresentazione in forma algebrica sia quella che è è molto semplice (si tratta di smanettare un po’ coi conti).[/quote]
Con le coppie credo di aver capito!
La prima definizione che ci è stata data è che un complesso è un coppia ordinata di reali.
Poi si nota che ogni complesso del tipo $(a,0)$ si comporta come il reale $a$. Poi dopo aver definito la somma e il prodotto di complessi si arriva attraverso passaggi algebrici a dire: $(a,b)=a+ib$.
Forse l'incertezza stava nel fatto che i complessi siano coppie: ma in effetti non c'è nulla di male, anche i razionali sono definiti come coppie di numeri (interi).
Grazie ancora per i chiarimenti!