Curiosità su calcolo sviluppi di taylor
Supponiamo che io debba scrivere lo sviluppo di Taylor per una funzione $h(x) = f(x)/g(x)$ e supponiamo che io conosca gli sviluppi di f(x) e di g(x). Posso ricavare il polinomio di Taylor da quelli di f(x) e di g(x)?
Per esempio:
$f(x) = 5 + 4x + x^2 + o(x^3)$
$g(x) = 1 + x + o(x)$
$f(x)/g(x) = (5 + 4x + x^2+ o(x^3))/(1+x + o(x)) = (x+3) + 2/(x+1)$ (già qui ho sbagliato con gli infinitesimi... anzi forse non si può nemmeno scrivere questa uguaglianza, per via degli infinitesimi)
Con quest'ultima relazione non ci faccio niente, vé?
Per esempio:
$f(x) = 5 + 4x + x^2 + o(x^3)$
$g(x) = 1 + x + o(x)$
$f(x)/g(x) = (5 + 4x + x^2+ o(x^3))/(1+x + o(x)) = (x+3) + 2/(x+1)$ (già qui ho sbagliato con gli infinitesimi... anzi forse non si può nemmeno scrivere questa uguaglianza, per via degli infinitesimi)
Con quest'ultima relazione non ci faccio niente, vé?
Risposte
C'e' uno sviluppo interessante per le funzioni al denominatore:
$ 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+o(x^n) $ (1)
da cui nell'esempio:
$ f(x)/g(x)=(5+4x+x^2+o(x^3))/(1+x+o(x))=(5+4x+x^2+o(x^3))(1-x-o(x))= 5-5x+4x+o(x)=5-x+o(x) $
considerando che $ o(x) $ al denominatore non mi permette di andare oltre il termine in x. Infatti sviluppando il denominatore con (1) gia' al secondo termine ottengo:
$ 1/(1+x+o(x))=1-(x+o(x)) $
$ 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+o(x^n) $ (1)
da cui nell'esempio:
$ f(x)/g(x)=(5+4x+x^2+o(x^3))/(1+x+o(x))=(5+4x+x^2+o(x^3))(1-x-o(x))= 5-5x+4x+o(x)=5-x+o(x) $
considerando che $ o(x) $ al denominatore non mi permette di andare oltre il termine in x. Infatti sviluppando il denominatore con (1) gia' al secondo termine ottengo:
$ 1/(1+x+o(x))=1-(x+o(x)) $
Grande 
Mi sa, però, che avevo formulato un esempio troppo fortunato e poi non ci avevo fatto caso. Con un altro meno semplice non trovo nulla di interessante:
$ f(x)/g(x)=(x^3+4x^2+5x+1+o(x^3))/(x^2-x+1+o(x^2))=((x^3+1)+x^2+2x)/(x^2-x+1+o(x^2))= ... $
Forse non si può dare una regola generale, dipende dai casi e da quanto sono "semplici" le funzioni che abbiamo. A volte conviene partire dagli sviluppi delle singole funzioni componenti, a volte trovare lo sviluppo della funzione "tutta".
1) Invece nel caso della composizione $f(g(x))$, c'è qualche relazione tra lo sviluppo delle due funzioni?
2) Lo studio di una funzione si può fare utilizzando i polinomi di Taylor? Forse no perché si riferiscono a un punto particolare...
Comunque questi polinomi di Taylor sono fichissimi
Mi sa, però, che avevo formulato un esempio troppo fortunato e poi non ci avevo fatto caso. Con un altro meno semplice non trovo nulla di interessante:$ f(x)/g(x)=(x^3+4x^2+5x+1+o(x^3))/(x^2-x+1+o(x^2))=((x^3+1)+x^2+2x)/(x^2-x+1+o(x^2))= ... $
Forse non si può dare una regola generale, dipende dai casi e da quanto sono "semplici" le funzioni che abbiamo. A volte conviene partire dagli sviluppi delle singole funzioni componenti, a volte trovare lo sviluppo della funzione "tutta".
1) Invece nel caso della composizione $f(g(x))$, c'è qualche relazione tra lo sviluppo delle due funzioni?
2) Lo studio di una funzione si può fare utilizzando i polinomi di Taylor? Forse no perché si riferiscono a un punto particolare...
Comunque questi polinomi di Taylor sono fichissimi
L'argomento dei polinomi di taylor è fondamentale in analisi, approfitto anch'io della interessante discussione da voi riportata,
per porre la seguente domanda:
qual'è lo sviluppo in serie di taylor della funzione $1/(x^2+x+1)$ ?
Saluti!
per porre la seguente domanda:
qual'è lo sviluppo in serie di taylor della funzione $1/(x^2+x+1)$ ?
Saluti!
@jitter
Se le funzioni $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ sono analitiche (almeno nei punti di interesse), le possiamo scrivere come
$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ e $g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n$, e su queste valgono le seguenti proprietà delle serie di potenze:
$f(x)+- g(x)=\sum_{n=0}^\infty (a_n+-b_n)(x-x_0)^n$
$f(x)g(x)=(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n)(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n)$
$f(x)/(g(x))=(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n)/(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n)$.
Quando tronchi gli sviluppi di $f(x)$ e $g(x)$ non puoi farlo a casaccio, ma devi arrivare a un grado che dipende dall'approssimazione che vuoi per $h(x)$.
Per quanto riguarda le funzioni composte le cose possono farsi difficili, a seconda della natura delle due funzioni.
Vediamo qualche esempio (tutti relativi a $x_0=0$):
Sappiamo che $e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+...$. Possiamo ricavare $e^(2x)$ sostituendo semplicemente $2x$ allo sviluppo precedente: $e^(2x)=1+2x+(2x)^2/2+(2x)^3/6+...=1+2x+2x^2+4/3x^3+...$.
Se volessimo calcolare lo sviluppo di $e^(x+1)$, invece? Non possiamo sostituire $x+1$ nello sviluppo precedente, essendo quest'ultimo relativo al punto $0$ mentre l'esponente in $0$ vale $1$.
Dovremmo quindi sostituire $x+1$ nello sviluppo di $e^x$ nel punto $1$.
Il discordo rimane valido se hai due funzioni di cui vai a scrivere gli sviluppi; diventa però più oneroso dal punto di vista computazionale e bisogna prestare particolare attenzione a dove si troncano gli sviluppi.
Ad esempio, per calcolare lo sviluppo di $\ln(1+\sinx)$ puoi osservare che $\ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...$ e che $\sinx=x-x^3/6+x^5/(5!)+...$ e quindi sostituire il secondo nel primo. Torno a ripetere che occorre fare attenzione nel troncare gli sviluppi: devi accertarti che stai considerando tutti i termini di grado pari o inferiore a quello richiesto per l'approssimazione di $f(g(x))$.
Questo metodo può richiedere di dover calcolare potenze di grado elevato di polinomi con molti termini. Per agevolare questi conti può essere conveniente utilizzare il teorema multinomiale.
In altri casi può essere più conveniente calcolare lo sviluppo secondo la definizione, soprattutto se è possibile valutare il valore delle derivate nel punto senza calcolarle in modo esplicito. Vediamo un esempio.
Calcolare Maclaurin di $f(x)=e^\sinx$ al quarto grado. Osserviamo che:
$f(x)=e^(sinx) \rArr f(0)=1$
[tex]f'(x)=\cos(x)f(x) \Rightarrow f'(0)=1[/tex]
[tex]f''(x)=-\sin(x)f(x)+f'(x)cos(x) \Rightarrow f''(0)=1[/tex]
[tex]f'''(x)=-\cos(x)f(x)-2\sin(x)f'(x)+f''(x)\cos(x) \Rightarrow f'''(0)=0[/tex]
[tex]f^{IV}(x)=f(x)\sin(x)-3\cos(x)f'(x)-3\sin(x)f''(x)+f'''(x)\cos(x) \Rightarrow f^{IV}(0)=-3[/tex].
Il polinomio è, pertanto: $P_4(x)_(x_0=0)=1+x+x^2/2-3x^4/(4!)=1+x+x^2/2-x^4/8$.
Per lo studio di funzione i polinomi di Taylor posso aiutarti a capire come si comporta localmente la funzione (ad esempio se si avvicina all'origine come una retta, una parabola, una radice...).
@francicko
Ti mostro come valutarlo in $x_0=0$ per semplicità di conto; se lo vuoi calcolare altrove ci si riconduce a Maclaurin e si sfrutta lo stesso procedimento. Calcoliamo il polinomio di grado quattro. Vale:
$1/(x^2+x+1)=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4\ \rArr 1=(x^2+x+1)(a+bx+cx^2+dx^3+ex^4)$, ossia
$1=a+(a+b)x+(a+b+c)x^2+(b+c+d)x^3+(c+d+e)x^4+...$[nota]Non ci interessano i termini di grado maggiore di $4$.[/nota]. Eguagliamo i coefficienti:
$\{(a=1),(a+b=0),(a+b+c=0),(b+c+d=0),(c+d+e=0):} \rArr {(a=1),(b=-1),(c=0),(d=1),(e=-1):}$.
Il polinomio è, pertanto: $P_4(x)_(x_0=0)=1-x+x^3-x^4$.
Se le funzioni $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ sono analitiche (almeno nei punti di interesse), le possiamo scrivere come
$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ e $g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n$, e su queste valgono le seguenti proprietà delle serie di potenze:
$f(x)+- g(x)=\sum_{n=0}^\infty (a_n+-b_n)(x-x_0)^n$
$f(x)g(x)=(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n)(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n)$
$f(x)/(g(x))=(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n)/(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n)$.
Quando tronchi gli sviluppi di $f(x)$ e $g(x)$ non puoi farlo a casaccio, ma devi arrivare a un grado che dipende dall'approssimazione che vuoi per $h(x)$.
Per quanto riguarda le funzioni composte le cose possono farsi difficili, a seconda della natura delle due funzioni.
Vediamo qualche esempio (tutti relativi a $x_0=0$):
Sappiamo che $e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+...$. Possiamo ricavare $e^(2x)$ sostituendo semplicemente $2x$ allo sviluppo precedente: $e^(2x)=1+2x+(2x)^2/2+(2x)^3/6+...=1+2x+2x^2+4/3x^3+...$.
Se volessimo calcolare lo sviluppo di $e^(x+1)$, invece? Non possiamo sostituire $x+1$ nello sviluppo precedente, essendo quest'ultimo relativo al punto $0$ mentre l'esponente in $0$ vale $1$.
Dovremmo quindi sostituire $x+1$ nello sviluppo di $e^x$ nel punto $1$.
Il discordo rimane valido se hai due funzioni di cui vai a scrivere gli sviluppi; diventa però più oneroso dal punto di vista computazionale e bisogna prestare particolare attenzione a dove si troncano gli sviluppi.
Ad esempio, per calcolare lo sviluppo di $\ln(1+\sinx)$ puoi osservare che $\ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...$ e che $\sinx=x-x^3/6+x^5/(5!)+...$ e quindi sostituire il secondo nel primo. Torno a ripetere che occorre fare attenzione nel troncare gli sviluppi: devi accertarti che stai considerando tutti i termini di grado pari o inferiore a quello richiesto per l'approssimazione di $f(g(x))$.
Questo metodo può richiedere di dover calcolare potenze di grado elevato di polinomi con molti termini. Per agevolare questi conti può essere conveniente utilizzare il teorema multinomiale.
In altri casi può essere più conveniente calcolare lo sviluppo secondo la definizione, soprattutto se è possibile valutare il valore delle derivate nel punto senza calcolarle in modo esplicito. Vediamo un esempio.
Calcolare Maclaurin di $f(x)=e^\sinx$ al quarto grado. Osserviamo che:
$f(x)=e^(sinx) \rArr f(0)=1$
[tex]f'(x)=\cos(x)f(x) \Rightarrow f'(0)=1[/tex]
[tex]f''(x)=-\sin(x)f(x)+f'(x)cos(x) \Rightarrow f''(0)=1[/tex]
[tex]f'''(x)=-\cos(x)f(x)-2\sin(x)f'(x)+f''(x)\cos(x) \Rightarrow f'''(0)=0[/tex]
[tex]f^{IV}(x)=f(x)\sin(x)-3\cos(x)f'(x)-3\sin(x)f''(x)+f'''(x)\cos(x) \Rightarrow f^{IV}(0)=-3[/tex].
Il polinomio è, pertanto: $P_4(x)_(x_0=0)=1+x+x^2/2-3x^4/(4!)=1+x+x^2/2-x^4/8$.
Per lo studio di funzione i polinomi di Taylor posso aiutarti a capire come si comporta localmente la funzione (ad esempio se si avvicina all'origine come una retta, una parabola, una radice...).
@francicko
"francicko":
qual è lo sviluppo in serie di taylor della funzione $ 1/(x^2+x+1) $ ?
Ti mostro come valutarlo in $x_0=0$ per semplicità di conto; se lo vuoi calcolare altrove ci si riconduce a Maclaurin e si sfrutta lo stesso procedimento. Calcoliamo il polinomio di grado quattro. Vale:
$1/(x^2+x+1)=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4\ \rArr 1=(x^2+x+1)(a+bx+cx^2+dx^3+ex^4)$, ossia
$1=a+(a+b)x+(a+b+c)x^2+(b+c+d)x^3+(c+d+e)x^4+...$[nota]Non ci interessano i termini di grado maggiore di $4$.[/nota]. Eguagliamo i coefficienti:
$\{(a=1),(a+b=0),(a+b+c=0),(b+c+d=0),(c+d+e=0):} \rArr {(a=1),(b=-1),(c=0),(d=1),(e=-1):}$.
Il polinomio è, pertanto: $P_4(x)_(x_0=0)=1-x+x^3-x^4$.
Caspita dott.ing, sei stato veramente gentile a darmi una spiegazione così esauriente!
Nel caso in cui il grado del denominatore è maggiore di quello del numeratore, sono teoricamente sempre in grado di arrivare al mio risultato? (domanda forse errata, ora prendo carta e penna e mi chiarisco l'idea).
[EDIT: Ah sì! si riesce: con lo stesso metodo che hai usato per l'esempio di Francicko, giusto?]
Infatti questo dei troncamenti è un punto delicato su cui casco spesso
Questo non l'ho ancora fatto, sono arrivata all'introduzione del polinomi di Taylor.
Intendi senza stare a scrivere tutta l'espressione della derivata, per esempio quando ho un termine che so annullarsi (se sto determinando uno sviluppo centrato in 0)? Solo che per trovare la derivata successiva poi mi serve la scrittura intera...
Giusto!
p.s. Le domande sulla possibilità di fare questo e quell'altro sono teoriche, poi capire la convenienza pratica di scegliere uno o un altro metodo verrà con l'esercizio
"dott.ing":
@jitter
$ f(x)/(g(x))=(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n)/(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n) $.
Nel caso in cui il grado del denominatore è maggiore di quello del numeratore, sono teoricamente sempre in grado di arrivare al mio risultato? (domanda forse errata, ora prendo carta e penna e mi chiarisco l'idea).
[EDIT: Ah sì! si riesce: con lo stesso metodo che hai usato per l'esempio di Francicko, giusto?]
Il discordo rimane valido se hai due funzioni di cui vai a scrivere gli sviluppi; diventa però più oneroso dal punto di vista computazionale e bisogna prestare particolare attenzione a dove si troncano gli sviluppi.
Infatti questo dei troncamenti è un punto delicato su cui casco spesso
Per agevolare questi conti può essere conveniente utilizzare il teorema multinomiale.
Questo non l'ho ancora fatto, sono arrivata all'introduzione del polinomi di Taylor.
In altri casi può essere più conveniente calcolare lo sviluppo secondo la definizione, soprattutto se è possibile valutare il valore delle derivate nel punto senza calcolarle in modo esplicito.
Intendi senza stare a scrivere tutta l'espressione della derivata, per esempio quando ho un termine che so annullarsi (se sto determinando uno sviluppo centrato in 0)? Solo che per trovare la derivata successiva poi mi serve la scrittura intera...
Per lo studio di funzione i polinomi di Taylor posso aiutarti a capire come si comporta localmente la funzione (ad esempio se si avvicina all'origine come una retta, una parabola, una radice...).
Giusto!
p.s. Le domande sulla possibilità di fare questo e quell'altro sono teoriche, poi capire la convenienza pratica di scegliere uno o un altro metodo verrà con l'esercizio
Fermo restando che la spiegazione di dott.ing è chiarissima, voglio porre l'accento su una cosa che spesso sfugge a chi si avvicina per la prima volta agli sviluppi di Taylor.
Il teorema di Taylor è un teorema che permette di sviluppare localmente una funzione per mezzo di un polinomio, a meno di un resto. Anche nel caso in cui la funzione sia derivabile con continuità infinite volte, noi possiamo solo essere arbitrariamente accurati scegliendo un grado arbitrariamente alto per il polinomio, e quindi avendo uno sviluppo locale arbitrariamente preciso, ma il risultato dello sviluppo sarà sempre un polinomio, che per definizione ha sempre un termine di grado massimo, e un resto che ci permetta di stimare l'errore nell'intorno del punto scelto per sviluppare la funzione. A questo punto si può avere la tentazione di chiedersi: posso passare al limite, trasformare il polinomio in una serie di potenze e liberarmi del resto? La risposta è: dipende. Ci sono funzioni per le quali ciò è possibile, e queste vengono dette analitiche, lo sviluppo prende il nome di serie di Taylor (da confrontarsi con polinomio di Taylor) e tale sviluppo è globale, non c'è un resto, si è scritta l'intera funzione come una serie di potenze, quella serie è la mia funzione. Poi esistono funzioni che rispettano le ipotesi del teorema di Taylor, quindi sono sviluppabili localmente per mezzo di un polinomio, ma non sono comunque analitiche, ovvero non esiste un punto che permette di svilupparle in serie di potenze, in tal caso non è possibile liberarsi della natura locale del teorema di Taylor.
Il teorema di Taylor è un teorema che permette di sviluppare localmente una funzione per mezzo di un polinomio, a meno di un resto. Anche nel caso in cui la funzione sia derivabile con continuità infinite volte, noi possiamo solo essere arbitrariamente accurati scegliendo un grado arbitrariamente alto per il polinomio, e quindi avendo uno sviluppo locale arbitrariamente preciso, ma il risultato dello sviluppo sarà sempre un polinomio, che per definizione ha sempre un termine di grado massimo, e un resto che ci permetta di stimare l'errore nell'intorno del punto scelto per sviluppare la funzione. A questo punto si può avere la tentazione di chiedersi: posso passare al limite, trasformare il polinomio in una serie di potenze e liberarmi del resto? La risposta è: dipende. Ci sono funzioni per le quali ciò è possibile, e queste vengono dette analitiche, lo sviluppo prende il nome di serie di Taylor (da confrontarsi con polinomio di Taylor) e tale sviluppo è globale, non c'è un resto, si è scritta l'intera funzione come una serie di potenze, quella serie è la mia funzione. Poi esistono funzioni che rispettano le ipotesi del teorema di Taylor, quindi sono sviluppabili localmente per mezzo di un polinomio, ma non sono comunque analitiche, ovvero non esiste un punto che permette di svilupparle in serie di potenze, in tal caso non è possibile liberarsi della natura locale del teorema di Taylor.
Non mi è chiara una cosa nell'esempio di Francicko:
L'espressione completa del prodotto dei due polinomi al secondo membro comprende anche un unico termine di grado 6: $ex^6$. Quando eguagliamo i coefficienti tenendo conto anche di questo termine (*), non segue $e = 0$, in contraddizione con $e =- 1$? (e quindi non esisterebbe il polinomio di grado 4 che cerchiamo?)
(*) Se anche non ci interessano i termini superiori al 4, non mi è chiaro come sia lecito eliminarli senza tenerne conto
"dott.ing":
Calcoliamo il polinomio di grado quattro. Vale:
$ 1/(x^2+x+1)=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4\ \rArr 1=(x^2+x+1)(a+bx+cx^2+dx^3+ex^4) $, ossia
$ 1=a+(a+b)x+(a+b+c)x^2+(b+c+d)x^3+(c+d+e)x^4+... $. Eguagliamo i coefficienti:
$ \{(a=1),(a+b=0),(a+b+c=0),(b+c+d=0),(c+d+e=0):} \rArr {(a=1),(b=-1),(c=0),(d=1),(e=-1):} $.
Il polinomio è, pertanto: $ P_4(x)_(x_0=0)=1-x+x^3-x^4 $.
L'espressione completa del prodotto dei due polinomi al secondo membro comprende anche un unico termine di grado 6: $ex^6$. Quando eguagliamo i coefficienti tenendo conto anche di questo termine (*), non segue $e = 0$, in contraddizione con $e =- 1$? (e quindi non esisterebbe il polinomio di grado 4 che cerchiamo?)
(*) Se anche non ci interessano i termini superiori al 4, non mi è chiaro come sia lecito eliminarli senza tenerne conto
"jitter":
Non mi è chiara una cosa nell'esempio di Francicko:
[quote="dott.ing"] Calcoliamo il polinomio di grado quattro. Vale:
$ 1/(x^2+x+1)=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4\ \rArr 1=(x^2+x+1)(a+bx+cx^2+dx^3+ex^4) $, ossia
$ 1=a+(a+b)x+(a+b+c)x^2+(b+c+d)x^3+(c+d+e)x^4+... $. Eguagliamo i coefficienti:
$ \{(a=1),(a+b=0),(a+b+c=0),(b+c+d=0),(c+d+e=0):} \rArr {(a=1),(b=-1),(c=0),(d=1),(e=-1):} $.
Il polinomio è, pertanto: $ P_4(x)_(x_0=0)=1-x+x^3-x^4 $.
L'espressione completa del prodotto dei due polinomi al secondo membro comprende anche un unico termine di grado 6: $ ex^6 $. Quando eguagliamo i coefficienti tenendo conto anche di questo termine (*), non segue $ e = 0 $, in contraddizione con $ e =- 1 $? (e quindi non esisterebbe il polinomio di grado 4 che cerchiamo?)
(*) Se anche non ci interessano i termini superiori al 4, non mi è chiaro come sia lecito eliminarli senza tenerne conto[/quote]
Forse ci sono...
perché io ho ragionato erroneamente come se avessi un'equazione "esatta", invece i termini di grado maggiore di 4 li posso trascurare perché sto cercando uno sviluppo arrestato al quarto grado.@Epimenide: grazie mille per la risposta. La rileggo tra qualche giorno, quando avrò fatto le serie di potenze.
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