Curiosità (connessione fra teorema Dini e Flusso?)

[gokusajan1]

Salve a tutti, ho una curiosità che mi è saltata fuori studiando il teorema del Dini e avendo poi visto come è definito il teorema del Flusso di un campo vettoriale.
Il teorema del Dini asserisce che sotto ipotesi di continuità di una funzione $f(x,y)=k$ e delle sue derivate parziali,cioè una funzione avente valore costante per punti appartenenti ad un certo dominio di R^2, allora è possibile esplicitare l' insieme dei punti del dominio di f in questo modo:
$Z:={(x,y(x))subR^2|f(x,y(x))=k}$ e inoltre ci viene assicurato che la corrispondenza tra$f(x,y(x)))=f(Z)$ e $Z=f^(-1)(Z)$ è biunivoca.
Ma il teorema ci dice anche qualcosa di più. Ci informa anche del fatto che una funzione ha massimo o minimo nei punti in cui risulta:
$ =0$ dato che $(d(gamma(x)))/(dx)=(1,(-f_x)/(f_y))=(1,y'(x))$, cioè i due vettori hanno direzioni ortogonali in un punto di massimo o di minimo.
Conscio di ciò mi sono chiesto: cosa potrebbe accadere se per esempio volessi integrare un differenziale di una funzione scalare (si faccia riferimento all'esempio precedente) parametrizzandola sui i punti di un suo SOTTO-insieme di livello e proiettandolo sul vettore normale al bordo dell' insieme stesso? Mi spiego meglio:
ho una funzione del tipo $f(x,y)=z=sqrt(x^2+y^2)=k$,$kne0$. Ovviamente questa rispetta tutti i "connotati" precedentemente descritti. Abbiamo innanzitutto che per z fissato si ha massimo in ogni punto rappresentato dal cerchio in $R^2$ con $Z:={(x,y)subeR^2 | x^2+y^2=k^2}$.In questo caso particolare (in cui $k=1$) il dominio ha una parametrizzazione la cui tangente al bordo ha direzione sempre normale al gradiente di f.
Se proietto il gradiente lungo tale direzione (che è parallela a sè stesso) ottengo:$N=(-(-xdx/sqrt(1-x^2)),dx)$ che è il vettore normale da cui $int_(gamma) <(f_x(x,y(x)),f_y(x,y(x))),N/(||N||)> ds = pi$ che è esattamente l' area del cerchio nonché la metà della lunghezza della circonferenza di raggio 1 nonché il flusso del gradiente di f in $R^2$.
Lo stesso ragionamento fatto per una sfera, quindi con $t=f(x,y,z)=sqrt(x^2+y^2+z^2)=k$, restituisce $2pi$ che è la superficie di una calotta di una sfera di raggio 1.
quindi mi sono detto che fra i due teoremi deve esistere una profonda connessione. Che ne dite?

[dissonance]

Dico che non si capisce molto. Fai un minestrone di teoremi (del Dini, dei moltiplicatori di Lagrange...), e ti esprimi in modo illeggibile, sia detto francamente.

[gokusajan1]

Caro Dissonance non credo che quel che dici sia vero. Attento a non confondere la tua incapacità di comprensione con la mia errata esposizione. Non nego che io abbia fatto un minestrone ma se avessi dovuto riportare il tutto nella maniera piu' formale possibile non mi sarebbe bastata una giornata. Invece di criticare, sii costruttivo e indicami i tuoi dubbi e qual' è il passaggio che non ti è chiaro, se vuoi aiutarmi!
P.S: non ho mai citato il teorema dei moltiplicatori di Lagrange!

[dissonance]

Hai ragione, ho risposto di fretta e sono risultato antipatico.

"Boomerang":Salve a tutti, ho una curiosità che mi è saltata fuori studiando il teorema del Dini e avendo poi visto come è definito il teorema del Flusso di un campo vettoriale.
Il teorema del Dini asserisce che sotto ipotesi di continuità di una funzione $f(x,y)=k$ e delle sue derivate parziali,cioè una funzione avente valore costante per punti appartenenti ad un certo dominio di R^2, allora è possibile esplicitare l' insieme dei punti del dominio di f in questo modo:
$Z:={(x,y(x))subR^2|f(x,y(x))=k}$ e inoltre ci viene assicurato che la corrispondenza tra$f(x,y(x)))=f(Z)$ e $Z=f^(-1)(Z)$ è biunivoca

Non è proprio ben detto. Intanto toglierei di mezzo la parola "dominio" che di solito indica aperti di \(\mathbb R^n\). Poi, il risultato del teorema è solo locale, altro punto fondamentale che tu non stai per niente considerando. (A me piace vedere il teorema della funzione implicita in questi termini: data una soluzione \(x_0, y_0)\) dell'equazione
\[
f(x, y)=k
\]
uno può "propagarla" un pochettino ottenendo una funzione \(y=y(x)\) definita in un intorno di \(x_0\) e tale che \(f(x, y(x))=k\). In questa ottica locale, è vero che la soluzione \((x, y(x))\) è unica, come dici tu.)

Ma il teorema ci dice anche qualcosa di più. Ci informa anche del fatto che una funzione ha massimo o minimo nei punti in cui risulta:
$ =0$ dato che $(d(gamma(x)))/(dx)=(1,(-f_x)/(f_y))=(1,y'(x))$, cioè i due vettori hanno direzioni ortogonali in un punto di massimo o di minimo.

E' qui che inizio a non capire. Le formule mi fanno pensare che tu stia calcolando la derivata di $y=y(x)$. Ma parli di massimi e minimi: di quale funzione? Forse ti riferisci a massimi e minimi vincolati, quindi al teorema di Lagrange. E chi sarebbe \(\gamma\)?

Conscio di ciò mi sono chiesto: cosa potrebbe accadere se per esempio volessi integrare una forma differenziale di una funzione

Qui diventa completamente incomprensibile. Cosa sarebbe una "forma differenziale di una funzione"???

Mi spiego meglio:
ho una funzione del tipo $f(x,y)=z=sqrt(x^2+y^2)=k$,$kne0$. Ovviamente questa rispetta tutti i "connotati" precedentemente descritti. Abbiamo innanzitutto che per z fissato si ha massimo in ogni punto rappresentato dal cerchio in $R^2$ con $Z:={(x,y)subeR^2 | x^2+y^2=k^2}$.In questo caso particolare (in cui $k=1$) il dominio ha una parametrizzazione la cui tangente al bordo ha direzione sempre normale al gradiente di f.
Se proietto il gradiente lungo tale direzione (che è parallela a sè stesso) ottengo:$N=(-(-xdx/sqrt(1-x^2)),dx)$ che è il vettore normale da cui $int_(gamma) <(f_x(x,y(x)),f_y(x,y(x))),N/(||N||)> ds = pi$ che è esattamente l' area del cerchio nonché la metà della lunghezza della circonferenza di raggio 1 nonché il flusso del gradiente di f in $R^2$.
Lo stesso ragionamento fatto per una sfera, quindi con $t=f(x,y,z)=sqrt(x^2+y^2+z^2)=k$, restituisce $2pi$ che è la superficie di una calotta di una sfera di raggio 1.
quindi mi sono detto che fra i due teoremi deve esistere una profonda connessione. Che ne dite?

Quello che mi sembra di capire è che stai cercando la relazione tra $\nabla f$ e l'elemento di lunghezza sulla circonferenza. E' così? Questa discussione ti potrebbe interessare. Anzi, pensandoci meglio, mi pare che la risposta che è stata data lì sia esattamente la risposta alla tua domanda.

[gokusajan1]

Dissonance a questo punto ti devo anch' io le mie scuse per averti risposto in modo così virulento. Apprezzo davvero il tuo intervento e il tuo aiuto. Ad ogni modo sono costretto a fornirti la dimostrazione completa, sperando di essere preciso e ordinato come tu, giustamente, richiedi.
Innanzitutto la prima domanda è: cosa voglio sapere? Voglio capire cosa accade quando integriamo su una superficie il gradiente di una funzione scalare. In particolare vorrei sapere se una funzione parametrizzata su una curva/superficie di livello e proiettata sulla normale alla superficie di livello stessa dà come risultato sempre la lunghezza della curva o estensione della superfici.
Partiamo dal teorema del Dini.
1) hai perfettamente ragione quando dici che il teorema del Dini è uno strumento solo locale. D'altronde ,correggimi se sbaglio,considerando gli infiniti punti $(x_(0i),y_(0i))$ contenuti nell' unione degli infiniti rettangolini $\cup_(i=1)^(n)R_(i)=\cup_(i=1^n){U_i\timesV_i}$ ,che sono le soluzioni dell' equazione$f(x,y)=k$, si potrà definire,se $f(x,y)$ è continua con derivate parziali continue, un piccolissimo prolungamento per ognuno di essi e dunque definire un luogo geometrico (una curva) il cui sostegno altro non è che l'insieme:$Z:={(x,y(x))inR^2 | f(x,y)=k}$.Bisogna però specificare che una funzione definita su un sostegno passa per diverse curve di livello, cioè in generale definire un vincolo non equivale a mantenere costante anche la funzione definita su di esso; quindi una funzione f parametrizzata su un vincolo (che è una curva di livello) non è detto che passi per punti in cui la sua immagine si mantiene costante, e quindi sia una curva di livello anche per f. Io però voglio considerare solo i casi in cui la funzione $f(x,y(x))=k$ per ogni $(x,y)ingamma$ ove $gamma(x)=(x,y(x))$. Allora:
-Sia $f(x,y)$ una funzione definita in un aperto di $R^2$, di classe $C^1(A)$.Sia $(x_0,y_0)$ un punto di A, tale che $f(x_0,y_0)=k$ e $(partial(f))/(partial(y))(x_0,y_0)\ne0$
Esistono allora un intorno $U$di $x_0$ e un intorno $V$ di $y_0$ tali che per ogni $xinU$ esiste un solo $y=h(x)inV$ per cui risulta $f(x_0,y_0)=k$.
La funzione $h:U->V$ così definita dovrà essere anch' essa di classe $C^1(U)$ e si ha:
$h'(x)=(-f_x(x,h(x))/(f_y(x,h(x)))$.
Supponiamo di avere una funzione (sempre tenendo a mente le funzioni citate in esempio) $f(x,y)$ e diamo per vero che $f_y(x_(0i),y_(0i))>0$ per ogni $i=1,...,n$. Dunque per ognuno di questi punti esisterà un rettangolo in cui tale derivata si mantiene positiva. Oltretutto se $f(x_(0i),y_(0i))=k$ allora $f(x_(0i),y_(0i)+h)>k$e $f(x_(0i),y_(0i)+h) Consideriamo ora una parametrizzazione lineare. Vogliamo inoltre che questa sia tale da intersecare la curva in due punti molto vicini. Avremo:
$G(t)=f(x_0i+t(x-x_(0i)),y_(0i)+t(h(x)-h(x_(0i)))=k$.Abbiamo che se $tin[0,1]$ allora:
$G(0)=f(x_(0i),h(x_(0i))=0$
$G(1)=f(x_(0i),h(x))=0$
Quindi per il teorema di Rolle deve esistere un valor medio $\tauin[0,1]$:
$G'(\tau)=f_x(\xi,\eta)(x-x_(0i))+f_y(\xi,\eta)(h(x)-h(x_(0i)))=0$. da qui possiamo avere due informazioni: in un punto di massimo o di minimo le direzioni di gradiente e della tangente al vincolo devono essere ortogonali. In particolare quando si ha un vincolo che è una curva di livello per "f" le direzioni delle rispettive tangenti sono SEMPRE ortogonali.
Se $z=k$ per ogni punto del vincolo (il che vuol dire che quando parametrizzo $f(x,y)$ con la curva $gamma=(x,h(x))$ l' insieme dei valori di $f(Z)$ non varia) allora è una curva di livello di$f$ e in tali condizioni f e la tangente al suo vincolo sono SEMPRE ortogonali (essendo k un massimo di f).
Inoltre dato che hai citato il teorema dei moltiplicatori essi poggiano proprio sull' ultima affermazione. Se cioè è vero che le tangenti di una curva implicita è ortogonale al gradiente allora nello stesso punto vi deve essere anche un vettore che sia parallelo. Ecco in conclusione il motivo per cui consideriamo: $(H(x,y,lambda)=f(x,y)+lambda(G(x,y))$. Cioè, derivando la precedente equazione cerchiamo quel vettore che sia parallelo e proporzionale al gradiente di $f(x,y)$ nel punto considerato. In particolare tali vettori, nel caso a cui faccio riferimento, saranno tutti paralleli!
Ne segue quanto detto...

[gokusajan1]

Con il link che mi hai inoltrato non solo hai risposto alla mia domanda ma mi hai fatto capire anche perchè quell' integrale mi restitusce la lunghezza del cerchio! se non sbaglio le cose stanno in questo modo:
$int_(gamma)<(grad(f))/(||grad (f)||),(grad(f))/(||grad(f)||)>ds=intint_(Sigma) d Sigma$