Critica sul concetto di integrale
Salve, allora, sono uno studente di ingegneria meccanica e le mie conoscenze di matematica si limitano, per il momento, all'analisi 1.
Mi permetto di fare delle precisazioni sull'operazione di integrale ed in particolare sul significato del misterioso dx. Questo perchè non sono affatto d'accordo con quanto detto in questa discussione, e cioè sul fatto che il dx nell'integrazione è soltanto un simbolo che serve per ricordare la variabile di integrazione, e dunque non indispensabile.
La discussione è questa:
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 56100.html
Secondo me in questo post avete detto un sacco di idiozie.
Innanzitutto è bene fare queste premesse. Come tutti sapete, la derivata di una funzione, limite di un rapporto incrementale, esprime, limitatamente ad un incremento dx di essa, il suo coefficiente angolare: dunque, la derivata è esprimibile come il rapporto fra l'incremento infinitesimo delle ordinate della funzione e quello infinitesimo delle ascisse, cioè $f'(x)=dy/dx$.
A questo punto bisogna introdurre la definizione di differenziale, che è una conseguenza della definizione di derivata. Mentre quest'ultima dà un'informazione sulla variazione infinitesima della funzione in termini di coefficiente angolare, il differenziale esprime l'incremento infinitesimo della funzione a seguito dell'incremento infinitesimo delle ascisse, conoscendo quanto vale la derivata prima della funzione;
essendo infatti $f'(x)=dy/dx$, si ha che il differenziale di $f$, cioè l'incremento infinitesimo $dy$ delle sue ascisse è: $dy=f'(x)*dx$.
Ora, l'operazione di integrale è una conseguenza naturale dell'operazione di differenziale.
Innanzitutto è bene precisare l'etimologia del termine integrale, che se non sbaglio deriva dal latino e significa "mettere insieme", "unire" ecc...
Bene, se io di una certa funzione conosco la sua variazione infinitesima (IL DIFFERENZIALE) e voglio calcolarne la variazione finita, come faccio? METTO INSIEME tutti questi contributi infinitesimi dy, cioè li sommo (da qui il simbolo di integrale); in altre parole, sommo tra di loro i vari differenziali della funzione. Ora vorrei capire come fate a dire, su queste basi, che il dx nell'operazione di integrale serve solo per ricordare la variabile di integrazione e che non è indispensabile!
Per concludere, l'integrale di una funzione mi permette di fare 2 COSE, cioè, può essere inteso in due modi:
1) Calcolare la primitiva $F(x)$ di una funzione $f(x)$ (integrale indefinito) oppure calcolare la variazione finita della primitiva (integrale definito);
2) Calcolare l'area del sottografico di una funzione: infatti, se devo calcolare l'area sottesa dal grafico di $f(x)$, a partire dalla conoscenza della derivata $f'(x)$ che faccio? Ne calcolo il differenziale, moltiplicando la derivata per $dx$, e poi metto tutto sotto una bella S.
Inoltre, ci tengo a precisare che è sbagliatissimo definire l'integrazione come l'operazione inversa della derivazione! L'integrazione è l'inverso della differenziazione (si può dire?), non della derivazione.
Tutte queste cose le ho capite da solo, il prof. a lezione non ci ha manco spiegato cos'era il differenziale di una funzione.
A voi i commenti.
Ci tengo inoltre a precisare che sono su un forum di matematici, quindi queste cose dovrebbero essere ben chiare a tutti, cosa che non mi sembra affatto.
C'è un sacco di confusione sul dx, sul differenziale e sull'integrale, sia sui libri, sia qui.
Mi permetto di fare delle precisazioni sull'operazione di integrale ed in particolare sul significato del misterioso dx. Questo perchè non sono affatto d'accordo con quanto detto in questa discussione, e cioè sul fatto che il dx nell'integrazione è soltanto un simbolo che serve per ricordare la variabile di integrazione, e dunque non indispensabile.
La discussione è questa:
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 56100.html
Secondo me in questo post avete detto un sacco di idiozie.
Innanzitutto è bene fare queste premesse. Come tutti sapete, la derivata di una funzione, limite di un rapporto incrementale, esprime, limitatamente ad un incremento dx di essa, il suo coefficiente angolare: dunque, la derivata è esprimibile come il rapporto fra l'incremento infinitesimo delle ordinate della funzione e quello infinitesimo delle ascisse, cioè $f'(x)=dy/dx$.
A questo punto bisogna introdurre la definizione di differenziale, che è una conseguenza della definizione di derivata. Mentre quest'ultima dà un'informazione sulla variazione infinitesima della funzione in termini di coefficiente angolare, il differenziale esprime l'incremento infinitesimo della funzione a seguito dell'incremento infinitesimo delle ascisse, conoscendo quanto vale la derivata prima della funzione;
essendo infatti $f'(x)=dy/dx$, si ha che il differenziale di $f$, cioè l'incremento infinitesimo $dy$ delle sue ascisse è: $dy=f'(x)*dx$.
Ora, l'operazione di integrale è una conseguenza naturale dell'operazione di differenziale.
Innanzitutto è bene precisare l'etimologia del termine integrale, che se non sbaglio deriva dal latino e significa "mettere insieme", "unire" ecc...
Bene, se io di una certa funzione conosco la sua variazione infinitesima (IL DIFFERENZIALE) e voglio calcolarne la variazione finita, come faccio? METTO INSIEME tutti questi contributi infinitesimi dy, cioè li sommo (da qui il simbolo di integrale); in altre parole, sommo tra di loro i vari differenziali della funzione. Ora vorrei capire come fate a dire, su queste basi, che il dx nell'operazione di integrale serve solo per ricordare la variabile di integrazione e che non è indispensabile!
Per concludere, l'integrale di una funzione mi permette di fare 2 COSE, cioè, può essere inteso in due modi:
1) Calcolare la primitiva $F(x)$ di una funzione $f(x)$ (integrale indefinito) oppure calcolare la variazione finita della primitiva (integrale definito);
2) Calcolare l'area del sottografico di una funzione: infatti, se devo calcolare l'area sottesa dal grafico di $f(x)$, a partire dalla conoscenza della derivata $f'(x)$ che faccio? Ne calcolo il differenziale, moltiplicando la derivata per $dx$, e poi metto tutto sotto una bella S.
Inoltre, ci tengo a precisare che è sbagliatissimo definire l'integrazione come l'operazione inversa della derivazione! L'integrazione è l'inverso della differenziazione (si può dire?), non della derivazione.
Tutte queste cose le ho capite da solo, il prof. a lezione non ci ha manco spiegato cos'era il differenziale di una funzione.
A voi i commenti.
Ci tengo inoltre a precisare che sono su un forum di matematici, quindi queste cose dovrebbero essere ben chiare a tutti, cosa che non mi sembra affatto.
C'è un sacco di confusione sul dx, sul differenziale e sull'integrale, sia sui libri, sia qui.
Risposte
Penso che un po' di presunzione in meno ti farebbe bene 
.
Le cose che dici sono accettabili a livello euristico e intuitivo, ma purtroppo di matematica ce n'è poca. Il problema è che parlare di "incremento infinitesimo" non ha senso in analisi, ossia non è un concetto ben definito.
Questo è vero, ma sul forum ci sono mille topic in cui i tuoi dubbi si sarebbero potuti chiarire meglio se tu non ti fossi convinto di possedere la verità!
. Le cose che dici sono accettabili a livello euristico e intuitivo, ma purtroppo di matematica ce n'è poca. Il problema è che parlare di "incremento infinitesimo" non ha senso in analisi, ossia non è un concetto ben definito.
"lisdap":
C'è un sacco di confusione sul dx, sul differenziale e sull'integrale, sia sui libri, sia qui.
Questo è vero, ma sul forum ci sono mille topic in cui i tuoi dubbi si sarebbero potuti chiarire meglio se tu non ti fossi convinto di possedere la verità!
Io ho letto qualcosa di quel post, non ricordo esattamente i contenuti, ma mi sembra veramente strano che siano state scritte un sacco di idiozie. Se usi questi termini, dovresti almeno specificare chi le avrebbe dette. In ogni modo, non mi sembra nemmeno il modo giusto di esprimere il proprio dissenso.
Certo che è curioso come un ingegnere in un breve messaggio, oltretutto poco formalmente, pretenda di tacciare come inutili, superflui e persino sbagliati interi corsi di Analisi matematica nei quali si "perde il proprio tempo" a studiare i concetti di limite, di derivata e di integrale come furono formulate in modo rigoroso e formale all'inizio dell'Ottocento. Non parliamo poi di tutto quello che segue ai primi corsi di Analisi. Forme differenziali, uso di avanzati concetti di topologia... tutto questo sarebbe semplicemente "confusione"?
Beh, se le idiozie c'erano in quel post, di certo sono proseguite in questo.
Se $f : (a,b) \to \RR$ è una funzione derivabile in $x_0 \in (a,b)$ allora $df(x_0) : \RR \to \RR$ è l'applicazione lineare definita da $df(x_0)(x)=f'(x_0)x$. Questa è la sola corretta definizione di differenziale per una funzione di una variabile reale.
Se $f : (a,b) \to \RR$ è una funzione derivabile in $x_0 \in (a,b)$ allora $df(x_0) : \RR \to \RR$ è l'applicazione lineare definita da $df(x_0)(x)=f'(x_0)x$. Questa è la sola corretta definizione di differenziale per una funzione di una variabile reale.
"speculor":
Io ho letto qualcosa di quel post, non ricordo esattamente i contenuti, ma mi sembra veramente strano che siano state scritte un sacco di idiozie. Se usi questi termini, dovresti almeno specificare chi le avrebbe dette. In ogni modo, non mi sembra nemmeno il modo giusto di esprimere il proprio dissenso.
Gugo:
"Questi due esempi valgono per segnalare che il simbolo $\text{d} x$ non è indispensabile alla notazione.
Tuttavia il $\text{d} x$ è comodo, perchè permette sempre di tenere sott'occhio la variabile d'integrazione: ciò torna utilissimo quando si applicano i teoremi di cambiamento di variabile."
"Mathcrazy"
Tuttavia è sempre conveniente, sopratutto negli esercizi, tenere d'occhio la variabile di integrazione.
Quello che ho riportato non mi sembra affatto corretto.
"Richard_Dedekind":
Certo che è curioso come un ingegnere in un breve messaggio, oltretutto poco formalmente, pretenda di tacciare come inutili, superflui e persino sbagliati interi corsi di Analisi matematica nei quali si "perde il proprio tempo" a studiare i concetti di limite, di derivata e di integrale come furono formulate in modo rigoroso e formale all'inizio dell'Ottocento. Non parliamo poi di tutto quello che segue ai primi corsi di Analisi. Forme differenziali, uso di avanzati concetti di topologia... tutto questo sarebbe semplicemente "confusione"?
Non ho detto che sono sbagliati quei concetti, ho detto che sono stati interpretati male perchè le cose non stanno come appaiono in quel topic.
"Luca.Lussardi":
Beh, se le idiozie c'erano in quel post, di certo sono proseguite in questo.
Allora elencamele.
Un consiglio lisdap? Lascia perdere.
"yellow":
Penso che un po' di presunzione in meno ti farebbe bene :lol:.
Le cose che dici sono accettabili a livello euristico e intuitivo, ma purtroppo di matematica ce n'è poca.
Perchè, la matematica si può fare solo con i simboli, non con le parole? La matematica è difficile da capire perchè siete voi matematici che la sostituite con i simboli. La matematica si fa anche con le parole.
"lisdap":
Non ho detto che sono sbagliati quei concetti, ho detto che sono stati interpretati male perchè le cose non stanno come appaiono in quel topic.
Di certo la derivata non è così allegramente il rapporto tra due quantità piccole. Di incrementi infinitesimi nudi e crudi nelle definizioni di limiti o di derivate non ne ho mai visti; saranno mica duecento anni che ci sbagliamo?
"lisdap":
[quote="yellow"]Penso che un po' di presunzione in meno ti farebbe bene
Le cose che dici sono accettabili a livello euristico e intuitivo, ma purtroppo di matematica ce n'è poca.
Perchè, la matematica si può fare solo con i simboli, non con le parole? La matematica è difficile da capire perchè siete voi matematici che la sostituite con i simboli. La matematica si fa anche con le parole.[/quote]
Non ho mai parlato di simboli o di parole...tra l'altro anche a me la matematica piace vederla spiegata in modo discorsivo, quando viene fatto bene. Questo però non c'entra niente col parlare in maniera senzata o meno dal punto di vista matematico.
Io seguirei il consiglio di speculor. Torna a parlare di filosofia della matematica quando avrai una conoscenza migliore.
"lisdap":idiozia
Come tutti sapete, la derivata di una funzione, limite di un rapporto incrementale, esprime, limitatamente ad un incremento dx di essa, il suo coefficiente angolare:
"lisdap":idiozia
dunque, la derivata è esprimibile come il rapporto fra l'incremento infinitesimo delle ordinate della funzione e quello infinitesimo delle ascisse, cioè $f'(x)=dy/dx$.
"lisdap":idiozia
... derivata. Mentre quest'ultima dà un'informazione sulla variazione infinitesima della funzione in termini di coefficiente angolare,
"lisdap":idiozia
il differenziale esprime l'incremento infinitesimo della funzione a seguito dell'incremento infinitesimo delle ascisse,
"lisdap":idiozia
il differenziale di $f$, cioè l'incremento infinitesimo $dy$
"lisdap":idiozia
l'operazione di integrale è una conseguenza naturale dell'operazione di differenziale.
e poi mi sono stufato
[mod="Fioravante Patrone"]Chiudo questo thread per rispetto della matematica e di chi se ne occupa seriamente[/mod]
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