Criterio uso sviluppi di Taylor per risolvere i limiti
Buonasera a tutti,
essendo il mio primo post, chiedo scusa se non scrivo le formule correttamente.
Ad ogni modo, vorrei chiedere un chiarimento riguardo il seguente limite:
lim (1/x - 1/lg(1 + x + x^2))
x->0
Usando il limite notevole del logaritmo, il limite sembra calcolabile normalmente (assenza di zeri a numeratore e/o denominatore) con risultato finale pari a 1.
Ma il risultato è sbagliato, tant'è che, usando lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo con arresto al 2° ordine, il risultato viene 1/2 (ed è quello corretto).
La mia domanda allora è:
Che criterio si può usare nel calcolo del limite per riconoscere che l'uso del limite notevole non funziona?
Sinora, mi erano capitati sempre limiti in cui era appunto la presenza di zeri a numeratore e/o denominatore ad indicarmi che l'uso del limite notevole falliva...
Grazie mille a tutti per l'aiuto e buon weekend!
essendo il mio primo post, chiedo scusa se non scrivo le formule correttamente.
Ad ogni modo, vorrei chiedere un chiarimento riguardo il seguente limite:
lim (1/x - 1/lg(1 + x + x^2))
x->0
Usando il limite notevole del logaritmo, il limite sembra calcolabile normalmente (assenza di zeri a numeratore e/o denominatore) con risultato finale pari a 1.
Ma il risultato è sbagliato, tant'è che, usando lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo con arresto al 2° ordine, il risultato viene 1/2 (ed è quello corretto).
La mia domanda allora è:
Che criterio si può usare nel calcolo del limite per riconoscere che l'uso del limite notevole non funziona?
Sinora, mi erano capitati sempre limiti in cui era appunto la presenza di zeri a numeratore e/o denominatore ad indicarmi che l'uso del limite notevole falliva...
Grazie mille a tutti per l'aiuto e buon weekend!
Risposte
Ciao!
Non c'è una regola. Dopo un po' di esercizi lo si vede ad "occhio". Comunque devi sviluppare fino a quando non hai più cancellazioni esatte. In questo caso per esempio i due termini con la x si elidono e quindi sviluppare al primo ordine non basta perché si perdono informazioni
Non c'è una regola. Dopo un po' di esercizi lo si vede ad "occhio". Comunque devi sviluppare fino a quando non hai più cancellazioni esatte. In questo caso per esempio i due termini con la x si elidono e quindi sviluppare al primo ordine non basta perché si perdono informazioni
Ciao Cooper,
Grazie mille della risposta. Ma il punto è proprio ciò che dici tu. Cioè, nel nostro caso, applicando i limiti notevoli, non si arriva mai a cancellazioni esatte, infatti si arriva alla funzione 1/(1+x), che diventa 1 per x->0.
Ma 1 non è il risultato esatto.
Usando invece lo sviluppo di Taylor al 2° ordine, esce il risultato esatto che è 1/2.
Grazie ancora a chi riuscirà a togliermi questo dubbio.
Grazie mille della risposta. Ma il punto è proprio ciò che dici tu. Cioè, nel nostro caso, applicando i limiti notevoli, non si arriva mai a cancellazioni esatte, infatti si arriva alla funzione 1/(1+x), che diventa 1 per x->0.
Ma 1 non è il risultato esatto.
Usando invece lo sviluppo di Taylor al 2° ordine, esce il risultato esatto che è 1/2.
Grazie ancora a chi riuscirà a togliermi questo dubbio.
da dove ti esce $1/(1+x)$?
ci sono due pezzi: quando li sommi il contributo di $1/x$ e lo sviluppo del logaritmo si elidono.
ci sono due pezzi: quando li sommi il contributo di $1/x$ e lo sviluppo del logaritmo si elidono.
Ciao Cooper,
applicando il limite notevole del lg, per x-->0 risulta lg(1 + x + x^2) = x + x^2, dunque sostituendo la funzione risulta:
1/x - 1/(x + x^2) = (x + x^2 - x)/(x*(x+x^2)) = x^2 / x^2*(1 + x) = 1/(1+x)
Sembra filare tutto liscio fino ad arrivare appunto al risultato finale 1.
Grazie mille del supporto.
applicando il limite notevole del lg, per x-->0 risulta lg(1 + x + x^2) = x + x^2, dunque sostituendo la funzione risulta:
1/x - 1/(x + x^2) = (x + x^2 - x)/(x*(x+x^2)) = x^2 / x^2*(1 + x) = 1/(1+x)
Sembra filare tutto liscio fino ad arrivare appunto al risultato finale 1.
Grazie mille del supporto.
per piacere metti le tue formule tra i simboli del dollaro così che possano risultare di più facile lettura
detto questo... a parte che nel fare il denominatore comune hai preso una x di troppo, la sostanza di quello che volevo dirti non cambia. nel sviluppare al primo ordine ottieni
$1/x-1/(x(1+x)+o(x+x^2))=(1+x-1+o(x))/(x(1+x)+o(x))$
il problema è appunto che si cancellano quei due 1: in pratica si sta cancellando lo sviluppo al primo ordine (x con x) e resti con una quantità che che va a zero ma non sai come e quindi non sai come confrontarla con il denominatore
detto questo... a parte che nel fare il denominatore comune hai preso una x di troppo, la sostanza di quello che volevo dirti non cambia. nel sviluppare al primo ordine ottieni
$1/x-1/(x(1+x)+o(x+x^2))=(1+x-1+o(x))/(x(1+x)+o(x))$
il problema è appunto che si cancellano quei due 1: in pratica si sta cancellando lo sviluppo al primo ordine (x con x) e resti con una quantità che che va a zero ma non sai come e quindi non sai come confrontarla con il denominatore
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