Criterio radice e rapporto

[Linux1987]

Salve , perchè l'esistenza del limite nel criterio del rapporto implica l'esistenza del limite nel criterio della radice ma non vale il viceversa?

[Rigel1]

Vedi Rudin, "Principles...", Thm. 3.37.

[Linux1987]

non ho questo libro e sfortunatamentw per me non mastico bene l ' inglese!

[Rigel1]

Vedi Rudin, "Principi di Analisi Matematica", Teorema 3.37, oppure qualsiasi altro libro di analisi matematica 1 pre-riforma.

[Linux1987]

senti io ti ringrazio della disponibilità, ma a meno che tu non mi possa dire dove trovare il libro non so proprio come fare XD !! magari qualche link ? grazie e scusa il disturbo !

[gio73]

Ciao Pasqualinux, che libro stai usando per studiare?

[Noisemaker]

Ti riporto la dimostrazione dal Rubin:

[...] il criterio della radice ha un'applicabilità più ampia. Per essere più precisi: tutte le volte che il criterio del rapporto garantisce la convergenza, lo stesso vale per il criterio della radice; ogni volta che il criterio della radice non dà informazioni, lo stesso vale per il criterio del rapporto. Questo è conseguenza del terorema seguente [...]

Teorema

Per ogni successione di numeri positivi $c_n$
\begin{align}
\liminf_{n\to +\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}&\le \liminf_{n\to +\infty} \sqrt[n] c_n\\
\limsup_{n\to +\infty} \sqrt[n] c_n&\le \limsup_{n\to +\infty} \frac{c_{n+1}}{c_n}
\end{align}

Dimostrazione

Dimostriamo la seconda uguaglianza: poniamo:
\begin{align}
\limsup_{n\to +\infty} \frac{c_{n+1}}{c_n}=\alpha
\end{align}

se $\alpha=+\infty$ non c'è niente da dimostrare; se $\alpha $ è finito si scelga $beta>\alpha.$ Allora esiste un intero $N$ tale che

\begin{align}
\frac{c_{n+1}}{c_n}\le \beta
\end{align}

per $n\geN.$ In particolare, per $\rho>0$

\begin{align}
c_{N+k+1}\le \beta c_{N+k},\qquad (k=0,1,...,\rho-1)
\end{align}

moltiplicando membro a membro queste disuguaglianze, si ottiene:

\begin{align}
c_{N+\rho}\le \beta^{\rho} c_{N },\qquad\mbox{oppure}\qquad c_{n}\le c_{N}\beta^{-N} \beta^{N},\qquad (n\ge N)
\end{align}

di conseguenza

\begin{align}
\sqrt[n]{c_{n}}\le\sqrt[n]{ c_{N}\beta^{-N}} \beta \qquad&\Rightarrow\qquad \frac{\sqrt[n]{c_{n}}}{\sqrt[n]{ c_{N}\beta^{-N}} }\le\beta\\
&\Rightarrow \limsup_{n\to +\infty} \sqrt[n]{c_n}\le \beta
\end{align}

e poiche l'ultima vale per ogni $\beta>\alpha$ si conclude

\begin{align}
\limsup_{n\to +\infty} \sqrt[n]{c_n}\le \alpha
\end{align}

come esempio, considerando la serie:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\,\,\,r^n\cdot\sin^2n\alpha,\qquad (r>0)\]
utilizzandi il criterio della radice si ha:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\,\,\,r^n\cdot\sin^2n\alpha \stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{r^n\cdot\sin^2n\alpha}=\lim_{n\to+\infty} r\cdot\sqrt[n]{ \sin^2n\alpha}\le r \]
quindi la serie data converge sicuramente per $r<1;$
Applicando il criterio del rapporto abbiamo:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\,\,\,r^n\cdot\sin^2n\alpha \stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty} \frac{r^{n+1}\cdot\sin^2(n+1)\alpha}{r^n\cdot\sin^2n\alpha}=\lim_{n\to+\infty} r\cdot \left(\frac{\sin (n+1)\alpha}{ \sin n\alpha}\right)^2=\not\exists \]

[Linux1987]

"gio73":Ciao Pasqualinux, che libro stai usando per studiare?

Praticamente matematica 2 malusa crasta

[Rigel1]

@pasqualinux: a quale corso di laurea sei iscritto (se è lecito chiedere)?

[Linux1987]

informatica, ti prego non farmi la predica per l'inglese , non sono proprio un ciuccio in inglese ,però gia ho difficoltà con questi argomenti se ci metto anche l'inglese è finita

[Rigel1]

Nessuna predica sull'inglese (anche se, soprattutto per un informatico, penso sia un'esigenza riuscire a leggere almeno i manuali tecnici in inglese).
Il libro che usi è un testo di base di matematica; in caso tu abbia necessità di approfondimenti (come quelli che hai richiesto) devi consultare qualche altro testo di Analisi Matematica più avanzato (tipicamente pre-riforma). Ti consiglierei però, in prima battuta, di acquisire una buona dimestichezza con gli argomenti di base prima di passare agli approfondimenti.

[Linux1987]

si ma il libro che ho da le definizioni e fa qualche dimostrazione non è molto completo ! il rudin che mi hai consigliato com'è? io cerco qualcosa però che sia anche facile da capire!!

[Rigel1]

Come ti ho già detto, il libro che usi è un testo di base, vale a dire contenente tutti i concetti principali, alcuni dei quali sono dimostrati mentre altri sono illustrati solo con esempi.
Se desideri studiare anche le dimostrazioni mancanti puoi procurarti dei testi di Analisi Matematica come quelli di Pagani e Salsa (sempre pre-riforma, altrimenti di dimostrazioni ne trovi anche meno). Il Rudin è un libro più avanzato, adatto più che altro a studenti di matematica.
Devi però essere consapevole del fatto che dovresti rivedere tutto in maniera più approfondita già dall'inizio; ad esempio, per dimostrare il criterio di Weierstrass sulla convergenza totale dovresti conoscere il criterio di convergenza di Cauchy uniforme per le serie (e successioni) di funzioni, cosa che implica che tu conosca il criterio di convergenza di Cauchy per le serie numeriche, di conseguenza prima dovresti conoscere quello per le successioni numeriche, di conseguenza dovresti sapere qualcosa sulla completezza etc etc etc.