Criterio "rapido" per la verifica di differenziabilità
Cito dal testo:
Dimostra che la funzione $ f(x_1,x_2,x_3)=sqrt(x_1\^2x_2^2x_3^2) $ è differenziabile. (Suggerimento: ricorda che c'è un criterio rapido per far ciò.)
Ora, io conosco il procedimento per verificare la differenziabilità di una funzione (dominio, continuità della funzione e studio della continuità nei punti di possibile discontinuità, calcolo derivate parziali e studio derivabilità in tali punti, studio differenziabilità nei punti di derivabilità), tuttavia per svolgere tutti i calcoli impiegherei molto più delle due ore che il compito consente. E per un singolo esercizio. Quindi vi chiedo: qual'è questo "criterio rapido" che permetterebbe di dimostrare la differenziabilità di una funzione?
Dimostra che la funzione $ f(x_1,x_2,x_3)=sqrt(x_1\^2x_2^2x_3^2) $ è differenziabile. (Suggerimento: ricorda che c'è un criterio rapido per far ciò.)
Ora, io conosco il procedimento per verificare la differenziabilità di una funzione (dominio, continuità della funzione e studio della continuità nei punti di possibile discontinuità, calcolo derivate parziali e studio derivabilità in tali punti, studio differenziabilità nei punti di derivabilità), tuttavia per svolgere tutti i calcoli impiegherei molto più delle due ore che il compito consente. E per un singolo esercizio. Quindi vi chiedo: qual'è questo "criterio rapido" che permetterebbe di dimostrare la differenziabilità di una funzione?
Risposte
Probabilmente in questo modo mi "allevierei" dal dover dimostrare, punto per punto, la derivabilità ed annessa differenziabilità nell'insieme $ B={(x_1,x_2,x_3)inR^3:x_1^2x_2^2x_3^2=0} $.
Quale sia il criterio rapido non lo so, ma di sicuro quella roba non è differenziabile sugli assi coordinati. Per esempio, se fissi \(x_2=x_3=a\ne 0\) trovi \(a^2|x_1|\) che non è derivabile per \(x_1=0\). E quindi su tutto l'asse \(x_1\) niente derivabilità e quindi niente differenziabilità (aaah, forse era questo il criterio rapido).
Non lo so. Il testo dice di determinare l'insieme in cui la funzione è differenziabile, quindi oltre alla differenziabilità in $A={(x_1,x_2,x_3)inR^3:x_1^2x_2^2x_3^2>0}$ dovrei dimostrare la differenziabilità per ogni punto ($(0,x_2,x_3)$, $(x_1,0,x_3)$, ecc.) per stabilire se lo sia anche in $B$.
Ma è differenziabile dove? te lo dice?
Perchè già in tutti i punti mostrati da mobley non è differenziabile, nel resto dei punti ti può aiutare un teorema sulla composizione...
Perchè già in tutti i punti mostrati da mobley non è differenziabile, nel resto dei punti ti può aiutare un teorema sulla composizione...
"anto_zoolander":
Ma è differenziabile dove? te lo dice?
Perchè già in tutti i punti mostrati da mobley non è differenziabile, nel resto dei punti ti può aiutare un teorema sulla composizione...
Non dice nulla se non di determinare l'insieme in cui $f$ è differenziabile. Considerando le due ore di compito, se mi metto a testare la derivabilità in ogni punto col rapporto incrementale e la differenziabilità col $ lim_(h,k,t)(R(h,k,t))/(sqrt(h^2+k^2+t^2)) $ affitto domani.
C'è un teorema che ti assicura la differenziabilità sotto opportune ipotesi sulle derivate parziali, lo avete fatto?
@mobley
ma infatti sarebbe follia
in ogni caso non sarebbe buono considerare che la funzione $g(t)=sqrt(t)$ è differenziabile per $t>0$ e la funzione $h(x,y,z)=(xyz)^2$ differenziabile in $RR^2$ per concludere che in $RR^2setminusB$ sia differenziabile?
ma infatti sarebbe follia
in ogni caso non sarebbe buono considerare che la funzione $g(t)=sqrt(t)$ è differenziabile per $t>0$ e la funzione $h(x,y,z)=(xyz)^2$ differenziabile in $RR^2$ per concludere che in $RR^2setminusB$ sia differenziabile?
"Mephlip":
C'è un teorema che ti assicura la differenziabilità sotto opportune ipotesi sulle derivate parziali, lo avete fatto?
Ti riferisci alla condizione sufficiente per la differenziabilità? Data $f: X in R^n->R$ e $x_0inInt(X)$, se le derivate parziali sono continue in un intorno di $x_0$ allora $f$ è differenziabile. Ma qui le derivate parziali non sono continue in $B$, per cui dovrei studiarne la continuità nei punti di possibile discontinuità.
"anto_zoolander":certo
la funzione $g(t)=sqrt(t)$ è differenziabile per $t>0$ e la funzione $h(x,y,z)=(xyz)^2$ differenziabile in $RR^2$
"anto_zoolander":
non sarebbe buono [...] per concludere che in $RR^2setminusB$ sia differenziabile?
non capisco cosa significa: intendi forse dire differenziabile in $R^2-B$?
"mobley":
Ti riferisci alla condizione sufficiente per la differenziabilità? Data $f: X in R^n->R$ e $x_0inInt(X)$, se le derivate parziali sono continue in un intorno di $x_0$ allora $f$ è differenziabile. Ma qui le derivate parziali non sono continue in $B$, per cui dovrei studiarne la continuità nei punti di possibile discontinuità.
Esatto, mi riferisco al teorema del differenziale totale. Con quello puoi provare a dimostrare che in tutti i punti ben lontani dall'origine e dagli assi cartesiani la funzione è differenziabile, mentre con quanto ti hanno già suggerito prima puoi concludere la non differenziabilità lungo gli assi cartesiani e nell'origine.
il 'meno' insiemistico, si.
In teoria ti basta e avanza per avere la differenziabilità in tutto quell'insieme
In teoria ti basta e avanza per avere la differenziabilità in tutto quell'insieme
Ho capito, grazie.
Ho solo una domanda. Se ad es. avessi avuto la funzione $sqrt((x_1^2-1)x_2^2x_3^2)$ avrei avuto che sicuramente nel punto $(1,0,x_3)$ la funzione è derivabile e differenziabile, tuttavia applicando gli insiemi nel modo che mi avete consigliato sarei stato tentato di dire che in $B={(x_1,x_2,x_3)in R^3: (x_1^2-1)x_2^2x_3^2=0}$ le derivate parziali non sono continue e quindi la funzione è differenziabile in $R^2-B$. In questo modo non mi sarei "perso per strada" diversi punti in cui in realtà è differenziabile? In casi del genere sono costretto ad applicare rapporto incrementale ed $R(h,k,t)$ o posso comunque usare gli insiemi?
Ho solo una domanda. Se ad es. avessi avuto la funzione $sqrt((x_1^2-1)x_2^2x_3^2)$ avrei avuto che sicuramente nel punto $(1,0,x_3)$ la funzione è derivabile e differenziabile, tuttavia applicando gli insiemi nel modo che mi avete consigliato sarei stato tentato di dire che in $B={(x_1,x_2,x_3)in R^3: (x_1^2-1)x_2^2x_3^2=0}$ le derivate parziali non sono continue e quindi la funzione è differenziabile in $R^2-B$. In questo modo non mi sarei "perso per strada" diversi punti in cui in realtà è differenziabile? In casi del genere sono costretto ad applicare rapporto incrementale ed $R(h,k,t)$ o posso comunque usare gli insiemi?
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