Criterio infinitesimo serie
Teorema dell’infinitesimo
Sia $\sum_{n=1}^\infty a_n$ a termini positivi, è convergente se
$\lim_{n \to \infty}na_n=0$
Ovvero se una serie a termini positivi è infinitesima di ordine superiore ad un reale $α > 1$, essa è convergente, se invece è infinitesima di ordine $α ≤ 1$, allora diverge.
Correggetemi se sbaglio, ma nel caso sopra citato $α = 1$ per cui $a_n/(1/n)$ e quindi non dovrebbe essere divergente?!?!?
Sia $\sum_{n=1}^\infty a_n$ a termini positivi, è convergente se
$\lim_{n \to \infty}na_n=0$
Ovvero se una serie a termini positivi è infinitesima di ordine superiore ad un reale $α > 1$, essa è convergente, se invece è infinitesima di ordine $α ≤ 1$, allora diverge.
Correggetemi se sbaglio, ma nel caso sopra citato $α = 1$ per cui $a_n/(1/n)$ e quindi non dovrebbe essere divergente?!?!?
Risposte
Ciao,
scusami se mi esprimo male, ma...l'ordine di infinitesimo ($\alpha$) si riferisce al termine $a_n$, cioè, se $a_n$ è positivo per ogni $n$ e se è infinitesimo comparabile con $1/(n^\alpha)$ con $\alpha > 1$ allora il limite $lim_(n -> +\infty) n a_n=0$. L'ordine di infinitesimo non si riferisce certo a $n$ in quel limite. Considerando il rapporto da te scritto $a_n/(1/n)$, questo rapporto tende a $0$ se $a_n$ si comporta come $1/(n^\alpha)$ con $\alpha > 1$
Spero di essere stato chiaro, e mi scuso se ho mancato di rigore
scusami se mi esprimo male, ma...l'ordine di infinitesimo ($\alpha$) si riferisce al termine $a_n$, cioè, se $a_n$ è positivo per ogni $n$ e se è infinitesimo comparabile con $1/(n^\alpha)$ con $\alpha > 1$ allora il limite $lim_(n -> +\infty) n a_n=0$. L'ordine di infinitesimo non si riferisce certo a $n$ in quel limite. Considerando il rapporto da te scritto $a_n/(1/n)$, questo rapporto tende a $0$ se $a_n$ si comporta come $1/(n^\alpha)$ con $\alpha > 1$
Spero di essere stato chiaro, e mi scuso se ho mancato di rigore
Avevo frainteso il termine $n$ di con l' infinitesimo campione contenente il valore $\alpha$
grazie
grazie
"zio_mangrovia":
Teorema dell’infinitesimo
Sia $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ a termini positivi, è convergente se
$ \lim_{n \to \infty}na_n=0 $
Falsissimo, ma da dove l'hai tirato fuori? In realtà ci sono 2 cose che non vanno, la prima è che l'implicazione è all'incontrario, la seconda è che manca un'ipotesi, riesci a capire quale?
Questo teorema è noto anche come teorema di Abel o di Pringsheim.
"otta96":
Falsissimo, ma da dove l'hai tirato fuori? In realtà ci sono 2 cose che non vanno, la prima è che l'implicazione è all'incontrario, la seconda è che manca un'ipotesi, riesci a capire quale?
ecco il link!
http://www.matematicagenerale.it/pdfser ... tesimo.pdf
Beh allora per lo meno non è colpa tua, è colpa di chi ha scritto quel pdf....
Comunque confermo quello che ho detto nel post precedente, e ne approfitto per esortarti a cercare un controesempio.
Comunque confermo quello che ho detto nel post precedente, e ne approfitto per esortarti a cercare un controesempio.
Visto che non ti fai vivo te lo dico io qual è un controesempio, $a_n=1/(nlnn)$. (verificalo per esercizio)
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