Criterio generale diagonalizzabilità,definizione funzionale
Salve!
Ho spostato la discussione,non avendo ricevuto risposte nella sezione di algebra lineare, in effetti mi sembra anche più giusto qui.
Ho dei problemi su un punto in particolare di questo teorema.
Data una matrice A diagonalizzabile ,cioè che ammette una base di autovettori,in questa base è diagonale.
Da qui è chiaro che A soddisfa un'equazione algebrica con tutte radici semplici.
Considerando infatti , con A nella sua forma diagonale , il prodotto
$ (A-lamda_1I).....(A-lambda_2I)=0 $
presenta per ogni fattore almeno un blocco nullo. Posso ora definire il funzionale :
$ phi(A)=prod_(k)(A-z_k)=0 $ con tutti i $z_k$ distinti , dato che A soddisfa l'equazione algebrica con tutte radici semplici.
Avrò dunque che ,dato che il risolvente $R(z)$ può essere definito come
$ R(z)=(zI-A)^-1-= 1/(phi(z))(phi(z)I-phi(A))/(zI-A) $
ora qui io scriverei
$ (phi(z)I-phi(A))/(zI-A)=phi(1) $
e dunque le radici del risolvente vengono da $phi(z)$ e sono tutte semplici.
Non capisco bene la definizione che fa,
afferma che $(phi(z)I-phi(A))/(zI-A)$ è un polinomio in z,
ma per come ho ragionato io ottengo uno scalare, il che ha senso col fatto che che i poli del risultante vengano solo da $phi(z)$ e che siano tutti semplici.
E in più, in questa definizione
$ R(z)=(zI-A)^-1-= 1/(phi(z))(phi(z)I-phi(A))/(zI-A) $
seguendo il libro avrei a sinistra una matrice e a destra un polinomio,sono confuso.
Ho spostato la discussione,non avendo ricevuto risposte nella sezione di algebra lineare, in effetti mi sembra anche più giusto qui.
Ho dei problemi su un punto in particolare di questo teorema.
Data una matrice A diagonalizzabile ,cioè che ammette una base di autovettori,in questa base è diagonale.
Da qui è chiaro che A soddisfa un'equazione algebrica con tutte radici semplici.
Considerando infatti , con A nella sua forma diagonale , il prodotto
$ (A-lamda_1I).....(A-lambda_2I)=0 $
presenta per ogni fattore almeno un blocco nullo. Posso ora definire il funzionale :
$ phi(A)=prod_(k)(A-z_k)=0 $ con tutti i $z_k$ distinti , dato che A soddisfa l'equazione algebrica con tutte radici semplici.
Avrò dunque che ,dato che il risolvente $R(z)$ può essere definito come
$ R(z)=(zI-A)^-1-= 1/(phi(z))(phi(z)I-phi(A))/(zI-A) $
ora qui io scriverei
$ (phi(z)I-phi(A))/(zI-A)=phi(1) $
e dunque le radici del risolvente vengono da $phi(z)$ e sono tutte semplici.
Non capisco bene la definizione che fa,
afferma che $(phi(z)I-phi(A))/(zI-A)$ è un polinomio in z,
ma per come ho ragionato io ottengo uno scalare, il che ha senso col fatto che che i poli del risultante vengano solo da $phi(z)$ e che siano tutti semplici.
E in più, in questa definizione
$ R(z)=(zI-A)^-1-= 1/(phi(z))(phi(z)I-phi(A))/(zI-A) $
seguendo il libro avrei a sinistra una matrice e a destra un polinomio,sono confuso.
Risposte
Infatti è un casino, non si capisce bene. Meglio citare la fonte che stai leggendo.
Teoria degli operatori lineari-Enrico Onofri
http://www.fis.unipr.it/~enrico.onofri/MMFbook.pdf , pag 49-50
http://www.fis.unipr.it/~enrico.onofri/MMFbook.pdf , pag 49-50
Non è molto chiaro neanche a me. Penso che voglia dire la cosa seguente, grosso modo: nell'espressione
\[
\frac{\Phi(z) - \Phi(A)}{z-A},
\]
(occhio a non scrivere mai matrici a denominatore se ci sono matematici nei dintorni), le uniche singolarità si hanno per $z\to z_j$, dove $z_j$ è una delle radici di $\Phi(z)$ (e quindi uno degli autovalori di $A$). Ma se $z\to z_j$, $\Phi(z)\to 0$ e dunque tutta la frazione tende a
\[
\prod_{k\ne j} (A-z_k), \]
e in particolare non è singolare.
\[
\frac{\Phi(z) - \Phi(A)}{z-A},
\]
(occhio a non scrivere mai matrici a denominatore se ci sono matematici nei dintorni), le uniche singolarità si hanno per $z\to z_j$, dove $z_j$ è una delle radici di $\Phi(z)$ (e quindi uno degli autovalori di $A$). Ma se $z\to z_j$, $\Phi(z)\to 0$ e dunque tutta la frazione tende a
\[
\prod_{k\ne j} (A-z_k), \]
e in particolare non è singolare.
Grazie ,ho seguito il tuo ragionamento e tutto fila.
L'unica cosa che mi lascia ancora perplesso è il fatto che sul mio libro l'espressione
$ (phi(z)I-phi(A))/(zI-A) $
Compare con le matrici identità sia sopra che sotto. Devo considerarlo come un errore di battitura ?
L'unica cosa che mi lascia ancora perplesso è il fatto che sul mio libro l'espressione
$ (phi(z)I-phi(A))/(zI-A) $
Compare con le matrici identità sia sopra che sotto. Devo considerarlo come un errore di battitura ?
Ma non credo, quelle sono convenzioni. Il termine $\phi(z)$ è uno scalare, quindi cosa significherebbe $\phi(z)-A$? Si sottointende una matrice identità: $\phi(z)-A=\phi(z)I-A$. Allo stesso modo la matrice a denominatore indica la matrice inversa.
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