Criterio differenziabilità

[lucillina1]

Su un articolo ho trovato un criterio a me nuovo di differenziabilità, ve lo riporto in originale per non modificare per nulla il suo significato:

Let us now show that we can put a C2 support function for the graph of u at x from above and
from below. Thus u is diffentiable at x.

La funzione u è definita su una varietà differenziali Riemaniana compatta e connessa, ed è a valori reali. So già che è di Lipschitz.
Ora, a me non sembra banale... Mi aiutate a capire?

[Rigel1]

Facciamo tutto in \(\mathbb{R}^n\). Se esistono \(\phi, \psi\in C^1\) tali che \(\psi\leq u \leq\phi\) e \(\psi(x) = u(x) = \phi(x)\), hai che la funzione \(\phi - \psi\) ha un punto di minimo in \(x\), quindi \(\nabla\phi(x) = \nabla\psi(x) =: p\). A questo punto
\[
\frac{\psi(y) - \psi(x) - p\cdot(y-x)}{|y-x|} \leq
\frac{u(y) - u(x) - p\cdot(y-x)}{|y-x|} \leq
\frac{\phi(y) - \phi(x) - p\cdot(y-x)}{|y-x|},\quad y\neq x.
\]
Passando al limite per \(y\to x\) hai che il primo e il terzo membro della disuguaglianza tendono a \(0\) (per definizione di differenziabilità); la differenziabilità di \(u\) in \(x\) segue dunque dal teorema del confronto.

[lucillina1]

Ti ringrazio . Avevo intrapreso la strada più complicata del sub e super differenziale, mentre come al solito le cose sono sempre più semplici... Ma la cosa può essere interpretata anche in quel senso? Mi ha un po' confuso che sull'articolo si metteva in luce che la funzione test è $C^2$, questo non lo capisco ancora... Implica che il differenziale di $u$ è continua in $x$, giusto?
Se $\phi\in C^1$ "tocca dall'alto" la funzione $u$ in $x$, allora $p=d \phi(x)$ appartiene al super differenziale di $u$ in $x$. Se c'è una funzione $\psi$ che tocca dal basso $u$ in $x$, allora $d \psi(x)$ appartiene al sub o super differenziale? Perchè se appartenesse al sub allora i due insiemi (sub e super differenziale) non sono entrambi vuoti, e quindi $f$ è differenziabile in $x$..

[Rigel1]

"lucillina":
Se $\phi\in C^1$ "tocca dall'alto" la funzione $u$ in $x$, allora $p=d \phi(x)$ appartiene al super differenziale di $u$ in $x$. Se c'è una funzione $\psi$ che tocca dal basso $u$ in $x$, allora $d \psi(x)$ appartiene al sub o super differenziale? Perchè se appartenesse al sub allora i due insiemi (sub e super differenziale) non sono entrambi vuoti, e quindi $f$ è differenziabile in $x$..

Si può fare anche così, ma per dimostrare che se sub- e super-differenziale sono non vuoti allora \(u\) è differenziabile si usa, in buona sostanza, l'argomento esposto nel mio primo post.

In genere usi funzioni test di classe \(C^2\) se stai considerando equazioni del secondo ordine (quindi ti servono i \(2\)-getti), oppure se stai considerando approssimazioni viscose di equazioni del primo ordine. In ogni caso, nella definizione di soluzione di viscosità non è restrittivo supporre le funzioni test di classe \(C^{\infty}\), quindi non ci sono problemi.