Criterio di ricerca punto critico

[matehack]

Buongiorno!

Ho bisogno di una mano per un esercizio:

Trovare la natura del punto critico:

$f(x) = e^(-2x) - sqrt(1 + 4x - x^2)$
Punto: $[0]$

Per trovare la natura del punto critico, il criterio dice:

Se $f(x) = f(x_0) + f^(n)(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$
Se tutte le derivate $f^(n)$ sono nulle escluse l'ennesima
Allora:
Se n pari: > 0 punto di min, < 0 punto di max
Se n dispari: > 0 flesso ascendente, < 0 flesso discendente

Quindi poichè è richiesto nel punto $0$ ho pensato di utilizzare gli sviluppi di MacLaurin tramite sostituzioni di:

Sviluppo:

$t = -2x, t->0$
$e^t = 1 + t + t^2/2 +o(t^2)$
$e^(-2x) = 1 - 2x + 2x^2 + o(x^2)$

Sviluppo:

$t = 4x - x^2, t->0$
$(1 + t)^alpha = 1 + alpha t + o(t)$
$-(1 + 4x - x^2)^(1/2) = - 1 - 2x + x^2/2 + o(x)$

Quindi:

$f(x) = 1 - 2x + 2x^2 + o(x^2) - 1 - 2x + x^2/2 + o(x)=$
$= -4x + 2x^2 + x^2/2 + o(x)$

Quindi:

$f(0) = 0$
$f'(x) = -4 + 4x + x + o(1)$
$f'(0) = -4$

Qui è il problema, secondo il criterio dovrei avere derivate nulla fino all'ennesima che mi darà la natura del punto critico.
Potrei anche continuare a sviluppare gli ordini, ma avrò sempre quel $4x$ nella $f'(x)$.

Qualcuno può consigliarmi per favore?


matehack

[frab1]

calcola la derivata prima della funzione e osserva per quali valori si annulla,poi calcola la derivata seconda e sostituisci i valori per cui la funzione si annullava in essa! se il risultato è $<0$ avrai un MAX se il risultato è $>0$ avrai un MIN!

altro modo:studia il segno della derivata prima!:)

[matehack]

Devo usare gli sviluppi in $0$ (MacLaurin) e derivare nel punto $0$...
Come vedi la derivata prima non è nulla, questo è il problema...

[Seneca1]

"matehack":Devo usare gli sviluppi in $0$ (MacLaurin) e derivare nel punto $0$...
Come vedi la derivata prima non è nulla, questo è il problema...

Ho plottato la funzione con Derive. In $0$ non c'è nulla: né massimo, né minimo, né flesso.

Ed è normale che la derivata prima sia negativa in quel punto. La funzione è decrescente in un intorno dello $0$.

[matehack]

Quindi è proprio uno zero della funzione!

[Camillo]

La funzione si annulla in $x=0 $ in quanto $ f(0)=0 $ ; però questo fatto non è rilevante per la richiesta dell'esercizio,
Hai approssimato la funzione nell'intorno di $x=0 $ con lo sviluppo di McLaurin e si vede subito che $f'(0)= -4 < 0 $; dunque in $x=0 $ la funzione è decrescente.Punto.
Il criterio che dici si usa se la dreivata prima in un punto è nulla e così la derivata seconda etc etc finchè la prima derivata che non si annulla è quella di ordine $n $ e allora si utilizza quanto hai scritto , in questo caso è più semplice determinare la natura del punto .