Criterio di monotonia stretta

[tetravalenza]

Ciao,

se $f$ è una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$, scrivere:

$f'(x)\geq 0, \forall x\in(a,b)$ con $f'$ non si annulla identicamente in alcun intervallo contenuto in $(a,b)$

è la stessa cosa affermare questo?

$f'(x)>0, \forall x\in(a,b)$

Questo dubbio scaturisce dalla lettura del libro "Calcolo" di Marcellini/Sbordone che presenta il teorema del Criterio di Monotonia stretta usando la doppia implicazione

"Sia $f$ una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$. Allora
\[
\left.\begin{matrix}
f'(x)\geq 0, \forall x\in (a,b) \\
f' \text{ non si annulla identicamente in alcun intervallo contenuto in} (a,b)
\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow f \text{ è strettamente crescente in }[a,b]
\]
Però sullo stesso argomento il libro "Analisi Matematica I" di S. Lancelotti afferma che
\[
f \text{ strettamente crescente in } I\nRightarrow f'(x)>0, \forall x\in I
\]
dove $I$ è un intervallo contentenuto in $R$ e $f: I\rightarrow R$ derivabile. Tornando alla domanda principale, se le due scritture corrispondono i due autori si contraddicono?

[Mathita]

"tetravalenza":Ciao,

se $f$ è una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$, scrivere:

$f'(x)\geq 0, \forall x\in(a,b)$ con $f'$ non si annulla identicamente in alcun intervallo contenuto in $(a,b)$

è la stessa cosa affermare questo?

$f'(x)>0, \forall x\in(a,b)$

No, non sono scritture equivalenti. La seconda è un caso particolare della prima. La prima ha il pregio di essere più generale e consente di trattare anche le funzioni con derivata positiva in un intervallo, ad eccezione di "qualche" punto. Prendi ad esempio la funzione $f(x) =x^3$. La sua derivata è positiva in $\mathbb{R}\setminus{0}$, mentre è nulla per $x=0$. Poiché rispetta le ipotesi del teorema, la funzione è strettamente crescente su tutto il dominio.

Lo stesso non lo puoi dire per la funzione

\(f(x) =\begin{cases}0&\mbox{se } -1
Si dimostra che è una funzione derivabile, con derivata nulla sull'intervallo $[-1,1]$ e positiva sul complementare. In questa circostanza, $f(x)$ non è strettamente crescente nel proprio dominio.

"tetravalenza":

Questo dubbio scaturisce dalla lettura del libro "Calcolo" di Marcellini/Sbordone che presenta il teorema del Criterio di Monotonia stretta usando la doppia implicazione

...

Però sullo stesso argomento il libro "Analisi Matematica I" di S. Lancelotti afferma

...

Tornando alla domanda principale, se le due scritture corrispondono i due autori si contraddicono?

No, non si contraddicono. Lancelotti vuole rimarcare il fatto che la monotonia stretta di una funzione derivabile su un intervallo non garantisce che la derivata sia diversa da zero. Come esempio, prendi ancora la funzione cubica. Essa è strettamente crescente nel dominio, epperò la sua derivata si annulla in zero.