Criterio di Leibniz sulle serie
Ciao, sempre in qualita di autodidatta sto cercando di capire il criterio di Leibniz:
"Se la succesione a termini strettamente positivi $a_n$ e decrescente ed infinitesima, allora la serie a segni alterni $sum^(oo)_(n=1) (-1)^(n+1)a_n$ e convergente"
indicata con $S_n$ la successione delle ridotte, abbiamo infatti:
$S_(2n+1)=S_(2n-1)-a_(2n)+a_(2n+1)<=S_(2n-1)$
$S_(2n+2)=S_(2n)+a_(2n+1)-a_(2n+2)<=S_(2n)$
cossicche la successione $S_(2n)$ risulta crescente e la sottosucc $S_(2n+1)$decrescente.
Bene non ho capito le due disequazioni: non riesco ad individuare il significato di $S_(2n+1)$ e di $S_(2n+2)$, non riesco a esplicitare questi termini, o meglio non capisco a quali termini della serie corrispondono...anche $S_(2n-1)$ ec...
grazie a chiunque me lo spieghi..
"Se la succesione a termini strettamente positivi $a_n$ e decrescente ed infinitesima, allora la serie a segni alterni $sum^(oo)_(n=1) (-1)^(n+1)a_n$ e convergente"
indicata con $S_n$ la successione delle ridotte, abbiamo infatti:
$S_(2n+1)=S_(2n-1)-a_(2n)+a_(2n+1)<=S_(2n-1)$
$S_(2n+2)=S_(2n)+a_(2n+1)-a_(2n+2)<=S_(2n)$
cossicche la successione $S_(2n)$ risulta crescente e la sottosucc $S_(2n+1)$decrescente.
Bene non ho capito le due disequazioni: non riesco ad individuare il significato di $S_(2n+1)$ e di $S_(2n+2)$, non riesco a esplicitare questi termini, o meglio non capisco a quali termini della serie corrispondono...anche $S_(2n-1)$ ec...
grazie a chiunque me lo spieghi..
Risposte
allora, consideri le ridotte pari e dispari della serie:
per $n=2m$ si ha
$S_(2m)=a_0-a_1+a_2-a_3+...+a_(2m)=S_(2m-2)-a_(2m-1)+a_(2m)$ ora, è chiaro che si ha per ipotesi che $a_(2m)==S_(2m+1)$; ma allora si ha che $S_(2m)$ è inferiormente limitata (e quindi converge a un certo $s_1$così come $S_(2n+1$ è superiormente limitata (diciamo che converge a $s_2$);
adesso mostriamo che $s_1=s_2$: si ha che
$|s_1-s_2|=<|S_(2n)-S_(2n+1)|=<|a_(2n+1)|$
e poichè il temrine $a_(2m+1) to 0$ ecco che si ha che $s_1=s_2$ e il teorema è fatto...
ciao
per $n=2m$ si ha
$S_(2m)=a_0-a_1+a_2-a_3+...+a_(2m)=S_(2m-2)-a_(2m-1)+a_(2m)$ ora, è chiaro che si ha per ipotesi che $a_(2m)=
adesso mostriamo che $s_1=s_2$: si ha che
$|s_1-s_2|=<|S_(2n)-S_(2n+1)|=<|a_(2n+1)|$
e poichè il temrine $a_(2m+1) to 0$ ecco che si ha che $s_1=s_2$ e il teorema è fatto...
ciao
ma quindi i pedici 2n+1 e 2n+2 stavano solo ad indicare pari e dispari??
naturalmente 
ovviamente nella definizione di $S_(2n)$ per $n=1$, si pone $S_(-1)=0$...ma è giusto un particolare
ciao
ovviamente nella definizione di $S_(2n)$ per $n=1$, si pone $S_(-1)=0$...ma è giusto un particolare
ciao
grazie jack!!
scusa mi sono accorto adesso pero che non ho capito...
sul mio libro e riportato che $S_(2n+1)>S_(2n)$. Come calcolo $S_(2n+1) e S_(2n+2)$?
sul mio libro e riportato che $S_(2n+1)>S_(2n)$. Come calcolo $S_(2n+1) e S_(2n+2)$?
la prima diseguaglianza deriva dal fatto che per ipotesi la successione è monotona decrescente...in realtà non è che devi proprio calcolare $S_(2n+1)$ e $S_(2n+2)$...semplicemente basta notare che in $S_(2n+2)$, per come è definita, hai che essa vale $S_(2n+1)+a_(2n+2)$...
ciao
ciao
ok, scusami ma non riesco a capire cosa sono ste $S_(2n+1)$ e tutte le altre, sono le ridotte ma, non le capisco, non associo quali termini potrebbero essere..ho capito il fatto che una e decr. per ipotesi..cmq $S_(2n+2)=S_(2n)+a_(2n+1)..$, sul mio libro e scritto cosi
mmm...io ho ragionato sulla serie $sum_(n=1)^(+oo)(-1)^na_n$ mentre quella postata da te era $sum_(n=1)^(+oo)(-1)^(n+1)a_n$...non sono certissimo che questo renda conto dell'equazione postata sopra,mi sembra più un errore del testo...(occhio che la dimostrazione che ti ho dato io è fatta sulla serie che ho scritto qui!...se vuoi applicarla alla tua, devi osservare che
$S_(2n)=-a_0+a_1-a_2+a_3-...-a_(2n)$ e così di seguito...e questa mi sembra la formula più esplicita per scrivere: $S_(q)=-a_0+a_1-a_2+...+(-1)^(q+1)a_(q)$...ma probabilmente non ho capito io la tua richiesta...)
ciao
$S_(2n)=-a_0+a_1-a_2+a_3-...-a_(2n)$ e così di seguito...e questa mi sembra la formula più esplicita per scrivere: $S_(q)=-a_0+a_1-a_2+...+(-1)^(q+1)a_(q)$...ma probabilmente non ho capito io la tua richiesta...)
ciao
ma sul mio libro e riportata due volte cosi come l ho postata....io non capisco da dove escono fuori le diseguaglianze e uguglianze perche non capisco a cosa si riferiscono per es $S_(2n+1), S_(2n-1)$, non capisco cosa vogliono dire.
allora, in sostanza la ridotta è la somma finita (fino a n) della serie $sum_(i=1)^(+oo)a_i$; nel tuo caso la ridotta $S_(2m)$ è la somma scritta fino a un valore pari (un pari qualsiasi visto che m non è specificato...); adesso, detto questo ti dovrebbero essere chiari i significati delle espressioni $S_(2m)$ e $S_(2m+1)$....adesso, le diseguaglianze vengono fuori da un semplice confronto che fai fra due ridotte successive (io ho postato quelle fra i numeri 2m e 2m+1, da quello che invece vedo scritto sopra, il tuo libro usa i numeri 2n+1 e 2n+2, ma è la stessa cosa (cioè si dimostra comunque, ovviamente....));adesso, per quanto riguarda la fomula che mi hai detto tu, ti dico, continuo a nutrire seri dubbi...semplicemente per il fatto che, dovendo avere $S_p$ esattamente p addendi, deve essere che $S_(2n+2)$ abbia 2n+2 addendi...in particolare modo ci deve essere il termine 2n+2-esimo della serie....
mah...cmq se hai capito la dimostrazione postata sopra, il criterio di leibniz è bello che dimostrato, quindi non dovresti avere altri pbroblemi con questo teorema....
ciao
mah...cmq se hai capito la dimostrazione postata sopra, il criterio di leibniz è bello che dimostrato, quindi non dovresti avere altri pbroblemi con questo teorema....
ciao
ma da dove salta fuori che $S_(2n+1)=S_(2n-1)-a_(2n)+a_(2n+1)$??
beh questo si può vedere semplicemente scrivendo per esteso la ridotta....
infatti
$S_(2n+1)=-a_0+a_1-a_2+a_3-...+a_(2n-1)-a_(2n)+a_(2n+1)$ adesso se prendi la somma fino al termine 2n-1-esimo,vedi che hai proprio la ridotta di indice 2n-1(difatti hai proprio le somme fino al termine 2n-1), per cui puoi agevolmente scrivere:
$S_(2n+1)=S_(2n-1)+a_(2n)-a_(2n+1)
ciao
infatti
$S_(2n+1)=-a_0+a_1-a_2+a_3-...+a_(2n-1)-a_(2n)+a_(2n+1)$ adesso se prendi la somma fino al termine 2n-1-esimo,vedi che hai proprio la ridotta di indice 2n-1(difatti hai proprio le somme fino al termine 2n-1), per cui puoi agevolmente scrivere:
$S_(2n+1)=S_(2n-1)+a_(2n)-a_(2n+1)
ciao
prenditi una serie che soddisfi il criterio di Leibniz
ad esempio di termine generale $ (-1)^n/n$
prova a scriverti le ridotte n-esime: $S_1$, $S_2$, $S_3$, etc. fino a $S_5$ e, se non basta, fino a $S_7$
ti apparirà chiarissimo quello che ti sembra misterioso
ad esempio di termine generale $ (-1)^n/n$
prova a scriverti le ridotte n-esime: $S_1$, $S_2$, $S_3$, etc. fino a $S_5$ e, se non basta, fino a $S_7$
ti apparirà chiarissimo quello che ti sembra misterioso
$S_1=-a_1$$S_2=-a_1+a_2$$S_3=-a_1+a_2-a_3$???giusto?
giusto, e coerente col tuo post iniziale
ora, fai i conti espliciti con $a_n = 1/n$
abbi fiducia nei tuoi mezzi!
ora, fai i conti espliciti con $a_n = 1/n$
abbi fiducia nei tuoi mezzi!
per es:$S_(2n+1)=S_2-a_3$ giusto?
proviamo con una considerazione più generale...
allora, data una ridotta $sum_(i=a)^(b)c_i$,la puoi spezzare in due parti in questo modo:
$sum_(i=a)^(b)c_i=[sum_(i=a)^(m)c_i] +[sum_(i=m+1)^(b)c_i]$
fin qua è chiaro o no?
ciao
allora, data una ridotta $sum_(i=a)^(b)c_i$,la puoi spezzare in due parti in questo modo:
$sum_(i=a)^(b)c_i=[sum_(i=a)^(m)c_i] +[sum_(i=m+1)^(b)c_i]$
fin qua è chiaro o no?
ciao
temo di aver capito....se cosi non fosse ve lo faro sapere...grazie mille cmq
"richard84":
per es:$S_(2n+1)=S_2-a_3$ giusto?
no, ma ci siamo vicini:
$S_3 = S_2 - a_3$
e così via...
come "temo"??:):):)
vabbè, facci sapere...
ps di nulla!
ciao
vabbè, facci sapere...
ps di nulla!
ciao
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