Criterio di Leibnitz sulle serie a termini alterni
Salve a tutti ragazzi, mi iscrivo a questo forum perchè sto avendo diversi problemi con Leibnitz, il suo criterio, e le Serie numeriche.
Vi pongo questo esercizio:
(Non so ancora usare i simboli del sito per scrivere gli esercizi)
Sommatoria (da n=2 a +infinito) di $[(-1)^(n-1)] * ln(n)/n^3$
Dunque, dato il criterio di leibnitz la successione Bn (in questo caso $ln(n)/n^3$) deve essere infinitesima e decrescente.
ora, io so che è infinitesima sfruttando le stime asintotiche, ma so che c'è la formula che considera
il lim (n->+infinito) $|Bn+1|/|Bn|<1$.
Solo che facendo questo limite mi viene fuori proprio 1! Al contrario di quanto ho detto facendo con le stime asintotiche.
Inoltre sfruttando la disequazione $(Bn+1)<=Bn$ mi blocco, e non so come andare avanti...
Chiedo aiuto a voi, nella speranza possiate aiutarmi.. avendo un'esame universitario tra 20 giorni. Grazie mille!
Vi pongo questo esercizio:
(Non so ancora usare i simboli del sito per scrivere gli esercizi)
Sommatoria (da n=2 a +infinito) di $[(-1)^(n-1)] * ln(n)/n^3$
Dunque, dato il criterio di leibnitz la successione Bn (in questo caso $ln(n)/n^3$) deve essere infinitesima e decrescente.
ora, io so che è infinitesima sfruttando le stime asintotiche, ma so che c'è la formula che considera
il lim (n->+infinito) $|Bn+1|/|Bn|<1$.
Solo che facendo questo limite mi viene fuori proprio 1! Al contrario di quanto ho detto facendo con le stime asintotiche.
Inoltre sfruttando la disequazione $(Bn+1)<=Bn$ mi blocco, e non so come andare avanti...
Chiedo aiuto a voi, nella speranza possiate aiutarmi.. avendo un'esame universitario tra 20 giorni. Grazie mille!
Risposte
la tua domanda è poco chiara; per quella serie non serve scomodare Leibniz, basta considere la convergenza assoluta:
\[\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n^3}\quad\to \quad \left|(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n^3}\right|=\frac{\ln n}{n^3} ....\]
\[\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n^3}\quad\to \quad \left|(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n^3}\right|=\frac{\ln n}{n^3} ....\]
Ciao NoiseMaker, grazie per avermi risposto.
Io so che il criterio di Leibnitz si usa su delle serie a termini alterni, perciò per studiare il carattere di questa serie ho pensato fosse giusto partire dalla verifica dei presupposti riguardanti la serie Bn.
Sbaglio?
Io so che il criterio di Leibnitz si usa su delle serie a termini alterni, perciò per studiare il carattere di questa serie ho pensato fosse giusto partire dalla verifica dei presupposti riguardanti la serie Bn.
Sbaglio?
si il criterio di Leibniz si usa solo per le serie a segni alterni; ma se usi la convergnza assoluta e scopri che la serie converge assolutamente, puoi concludere che la serie convergerà anche semplicemente.
Ti ringrazio per l'informazione, tuttavia.. dovendomi esercitare proprio su Leibnitz, potresti aiutarmi a ragionare in questo modo sebbene risulti forzato? Te ne sarei grato 
devi dimostrare che:
[*:3k4tet8c] $\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n}{n^3}=0$[/*:m:3k4tet8c]
[*:3k4tet8c]$\frac{\ln n}{n^3} $ è decrescente;[/*:m:3k4tet8c][/list:u:3k4tet8c]
il primo punto è banale; per il secondo poni $f(x):= \frac{\ln x}{x^3}$ e studia la monotonia della funzione calcolando la derivata prima, cioè $f'(x)=\frac{x^2-3x^2\ln x}{x^6}$ e sudiane il segno:
\[x^2-3x^2\ln x>0\quad \Leftrightarrow\quad x^2(1- \ln x)>0 \quad \Leftrightarrow\quad (1- \ln x)>0 \quad \Leftrightarrow\quad\ln x<1 ....\]
Perfetto! Gentilissimo.
però mi chiedo, ammettiamo per assurdo che io non mi fossi accorto che la successione è infinitesima, avrei usato la formula del limite (n->+infinito) $|Bn+1|/|Bn|<1$
Sarebbe stato lecito comunque farla, no?
E poi perchè hai preferito usare la derivata invece della formula $|Bn+1|<|Bn|$?
Poi ho notato che nel mettere in evidenza la $x^2$ non hai inserito un 3, ma non è questo il problema, quello che vorrei sapere è: una volta ottenuti i punti in cui la derivata cresce/decresce, cosa posso dire sulla funzione originale?
però mi chiedo, ammettiamo per assurdo che io non mi fossi accorto che la successione è infinitesima, avrei usato la formula del limite (n->+infinito) $|Bn+1|/|Bn|<1$
Sarebbe stato lecito comunque farla, no?
E poi perchè hai preferito usare la derivata invece della formula $|Bn+1|<|Bn|$?
Poi ho notato che nel mettere in evidenza la $x^2$ non hai inserito un 3, ma non è questo il problema, quello che vorrei sapere è: una volta ottenuti i punti in cui la derivata cresce/decresce, cosa posso dire sulla funzione originale?
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