Criterio di integrabilità secondo Reimann

[Sveshh]

Buon pomeriggio a tutti.
Sto preparando l'orale per l'esame si analisi e ci sono piccoli dubbi che insorgono circa qualche dimostrazione.
In questo caso non riesco a giustificarmi la conclusione della dimostrazione di uno dei criteri di integrabilità secondo R.
Spero che qualcuno possa aiutarmi =)
Vi riporto di seguito i passaggi della dimostrazione che conosco e l'enunciato del criterio:

Se $ f(x) $ limitata in $ [a;b] $
e monotona

$ rArr f(x) $ integrabile secondo Reimann.
Ciò significa che deve esistere una decomposizione dell'intervallo [a,b] tale che l'insieme delle somme superiori e quello delle somme inferiori siano separati e contigui.
$ EE D:AA epsi>0 , S(D) - s(D) < epsi $

Dimostrazione:
Prendo $ f(x) $ monotona crescente.
$ s(D) = sum_(i=1)^(n) Inf_i(Deltax)_i * (x_i-x_(i-1)) $
$ S(D) = sum_(i=1)^(n) Sup_i(Deltax)_i * (x_i-x_(i-1)) $
Quindi per dimostrare la tesi
$ sum_(i=1)^(n) Sup_i(Deltax)_i * (x_i-x_(i-1)) - sum_(i=1)^(n) Inf_i(Deltax)_i * (x_i-x_(i-1)) < epsi $
Essendo $ f(x) $ monotona crescente:
in $ [x_i - x_(i-1)] $
$ -> Sup_i(Deltax)_i = f(x_i) $
$ -> Inf_i(Deltax)_i = f(x_(i-1)) $
il tutto diventa
$ sum_(i=1)^(n) f(x_i) * (x_i-x_(i-1)) - sum_(i=1)^(n) f(x_(i-1)) * (x_i-x_(i-1)) < epsi $
$ sum_(i=1)^(n) f(x_i) * (x_i-x_(i-1)) - f(x_(i-1)) * (x_i-x_(i-1)) < epsi $
$ sum_(i=1)^(n) (f(x_i)-f(x_(i-1))(x_i-x_(i-1)) < epsi $
$ f(x) $ monotona crescente quindi basta che
$ (x_i-x_(i-1)) < epsi $
Moltiplicando ambo i membri per $ sum_(i=1)^(n) (f(x_i)-f(x_(i-1))) $ (quantità positiva)
ottengo $ sum_(i=1)^(n) (f(x_i)-f(x_(i-1))(x_i-x_(i-1))) < espi * sum_(i=1)^(n) (f(x_i)-f(x_(i-1))) $
però...svolgendo la sommatoria $ sum_(i=1)^(n) (f(x_i)-f(x_(i-1))) $ i termini si eliminano con i loro opposti a due a due tranne gli estremi.
Il tutto diventa
$ S(D) - s(D) < epsi * f(b) - f(a) $
c.v.d.
La mia domanda è:
HO DIMOSTRATO CHE IL PRIMO TERMINE SIA MINORE DI $ epsi $ MOLTIPLICATO AD UN'ALTRA QUANTITA'. CHE AL VARIARE DEGLI ESTREMI DELLA FUNZIONE PUò ESSERE TANTO PICCOLA QUANTO GRANDE!
LA DIFFERENZA TRA LE DUE SOMME POTREBBE ESSERE MINORE DI QUEL PRODOTTO, MA MAGGIORE DI $ epsi $.
COME GIUSTIFICO DI AVER DIMOSTRATO IL CRITERIO?
Questa è la dimostrazione fornita dalla mia insegnante.
Spero che qualcuno possa aiutarmi! =)

[Sk_Anonymous]

"Sveshh":[...] HO DIMOSTRATO CHE IL PRIMO TERMINE SIA MINORE DI $ epsi $ MOLTIPLICATO AD UN'ALTRA QUANTITA'. CHE AL VARIARE DEGLI ESTREMI DELLA FUNZIONE PUò ESSERE TANTO PICCOLA QUANTO GRANDE! [...]

In ogni caso \(f\) è limitata su \([a,b]\), quindi certamente \(\exists \, M > 0\) t.c. \(\forall \, x \in [a,b]\), \(|f(x)| < M\). Di conseguenza \(|f(a) - f(b)| < 2M\), e siccome \(\epsilon\) è piccolo a piacere, lo sarà pure la quantità \(2M \epsilon\).