Criterio di Dirichlet applicato al seno
Affinchè una funzione sia F-trasformabile deve soddisfare (a quanto ho capito) il criterio di Dirichlet, ed uno di questi punti è
* La funzione[tex]x(t)[/tex] da trasformare deve essere assolutamente sommabile, ovvero [tex]$\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|dt<\infty[/tex]
Ma il seno non soddisfa questa proprietà! Ma una trasforma di Fourier del seno esiste, ed è (nel caso di [tex]x(t)=sin(2 \pi f_0 t)[/tex] ) uguale a [tex]$X(f)=\frac{\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)}{2j}[/tex]
Quindi due sono le opzioni: o c'è qualcosa che mi sfugge, o il criterio di Dirichlet è sufficiente ma NON necessario.
* La funzione[tex]x(t)[/tex] da trasformare deve essere assolutamente sommabile, ovvero [tex]$\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|dt<\infty[/tex]
Ma il seno non soddisfa questa proprietà! Ma una trasforma di Fourier del seno esiste, ed è (nel caso di [tex]x(t)=sin(2 \pi f_0 t)[/tex] ) uguale a [tex]$X(f)=\frac{\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)}{2j}[/tex]
Quindi due sono le opzioni: o c'è qualcosa che mi sfugge, o il criterio di Dirichlet è sufficiente ma NON necessario.
Risposte
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Questo succede quando si studia la trasformata di Fourier solo sui libri di ingegneria! 
In due parole, la storia è questa. La trasformata di Fourier nasce come trasformata integrale; data una funzione [tex]y\in L^1(\mathbb{R})[/tex], si definisce [tex]\hat{y}(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)e^{-i2\pi ft}\,dt[/tex] (o varianti del tutto analoghe, come [tex]\hat{y}(f)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)e^{-ift}\,dt[/tex]).
Ma questa definizione ha il grosso problema di non funzionare se [tex]y[/tex] non è sommabile. Infatti in quel caso la funzione integranda non sarà sommabile essa stessa: è [tex]\lvert y(t)e^{-i2\pi ft} \rvert=\lvert y(t)\rvert[/tex], quindi niente garantisce che l'integrale di sopra abbia senso. Si recupera qualcosa ammettendo che l'integrale possa essere fatto nel senso del valore principale:
(*) [tex]$\lim_{c\to+\infty}\int_{-c}^{+c}y(t)e^{-i2\pi ft}\,dt[/tex];
ad esempio, la funzione [tex]\text{sinc}[/tex] può essere trasformata in questo modo (se non mi ricordo male).
Ma se vogliamo trasformare un segnale periodico non nullo, (e più in generale un segnale che non abbia il quadrato sommabile) neanche questo ci salva. L'integrale di sopra non esisterà neanche nel senso del valore principale. In questo caso la trasformata deve essere definita nel senso delle distribuzioni: se [tex]y[/tex] è una distribuzione temperata, se ne definisce la trasformata di Fourier mediante la
[tex]\langle \hat{y}, \varphi \rangle= \langle y, \hat{\varphi} \rangle[/tex] (nei libri di ingegneria si usa molto la notazione [tex]\int \hat{y}\varphi=\int y\hat{\varphi}[/tex] - ma non sono veri integrali) per ogni [tex]\varphi[/tex] funzione [tex]\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] a decadimento rapido.
Con questa definizione di trasformata, le cose vanno lisce e la trasformata di una sinusoide è una doppia delta di Dirac. Inoltre, il limite (*) esiste, ma non nel senso puntuale: infatti esso esiste nel senso delle distribuzioni (temperate).
In due parole, la storia è questa. La trasformata di Fourier nasce come trasformata integrale; data una funzione [tex]y\in L^1(\mathbb{R})[/tex], si definisce [tex]\hat{y}(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)e^{-i2\pi ft}\,dt[/tex] (o varianti del tutto analoghe, come [tex]\hat{y}(f)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)e^{-ift}\,dt[/tex]).
Ma questa definizione ha il grosso problema di non funzionare se [tex]y[/tex] non è sommabile. Infatti in quel caso la funzione integranda non sarà sommabile essa stessa: è [tex]\lvert y(t)e^{-i2\pi ft} \rvert=\lvert y(t)\rvert[/tex], quindi niente garantisce che l'integrale di sopra abbia senso. Si recupera qualcosa ammettendo che l'integrale possa essere fatto nel senso del valore principale:
(*) [tex]$\lim_{c\to+\infty}\int_{-c}^{+c}y(t)e^{-i2\pi ft}\,dt[/tex];
ad esempio, la funzione [tex]\text{sinc}[/tex] può essere trasformata in questo modo (se non mi ricordo male).
Ma se vogliamo trasformare un segnale periodico non nullo, (e più in generale un segnale che non abbia il quadrato sommabile) neanche questo ci salva. L'integrale di sopra non esisterà neanche nel senso del valore principale. In questo caso la trasformata deve essere definita nel senso delle distribuzioni: se [tex]y[/tex] è una distribuzione temperata, se ne definisce la trasformata di Fourier mediante la
[tex]\langle \hat{y}, \varphi \rangle= \langle y, \hat{\varphi} \rangle[/tex] (nei libri di ingegneria si usa molto la notazione [tex]\int \hat{y}\varphi=\int y\hat{\varphi}[/tex] - ma non sono veri integrali) per ogni [tex]\varphi[/tex] funzione [tex]\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] a decadimento rapido.
Con questa definizione di trasformata, le cose vanno lisce e la trasformata di una sinusoide è una doppia delta di Dirac. Inoltre, il limite (*) esiste, ma non nel senso puntuale: infatti esso esiste nel senso delle distribuzioni (temperate).
Per la questione dei libri di ingegneria non posso che darti ragione, da una parte odio dover studiare matematica in maniera approssimativa, ma d'altro canto se dovessi studiare matematica come si deve sarei a matematica 
In ogni caso, sono riuscito a seguire pressocchè tutto ciò che hai detto, essendomi precedentemente fatto una leggera (leggera leggera leggera!) infarinatura di teoria delle distribuzioni.
Solo un appunto: non sono riuscito a capire cosa sia una distribuzione temperata, mi sapresti spiegare la cosa (ricordando che, nonostante sia appassionato di matematica, le mie conoscenze sono pur sempre quelle di un laureando in ingegneria )
In ogni caso, sono riuscito a seguire pressocchè tutto ciò che hai detto, essendomi precedentemente fatto una leggera (leggera leggera leggera!) infarinatura di teoria delle distribuzioni.
Solo un appunto: non sono riuscito a capire cosa sia una distribuzione temperata, mi sapresti spiegare la cosa (ricordando che, nonostante sia appassionato di matematica, le mie conoscenze sono pur sempre quelle di un laureando in ingegneria
)
In realtà io sono convinto che questo argomento vada studiato anche su qualche testo applicato. Leggendo solo teoria si perde la metà delle idee.
Comunque, le distribuzioni temperate sono una sottoclasse delle distribuzioni. La definizione la puoi trovare su Wikipedia. E' necessario restringere un po' la classe delle distribuzioni, prima di definire la trasformata di Fourier, perché certe distribuzioni proprio non possono essere trasformate. Esempio classico: [tex]u(t)=\text{exp}(t)[/tex]. Come sappiamo è [tex]u'(t)=u(t)[/tex]. Se fosse possibile trasformare, dal teorema di derivazione dovremmo ricavare questa identità: [tex](i 2\pi f)\hat{u}=\hat{u}[/tex], ovvero [tex](1-i 2 \pi f)\hat{u}=0[/tex] e quindi [tex]\hat{u}=0[/tex], perché il polinomio [tex](1-i 2 \pi f)[/tex] non ha zeri reali. Ma allora arriviamo alla contraddizione [tex]\exp\equiv 0[/tex].
Questo è detto proprio alla buona, eh. Tanto per dare una idea. Una discreta referenza è (IMHO) il libro di Gilardi Analisi 3, ma attenzione a non perderti perché è un po' incasinato.
Comunque, le distribuzioni temperate sono una sottoclasse delle distribuzioni. La definizione la puoi trovare su Wikipedia. E' necessario restringere un po' la classe delle distribuzioni, prima di definire la trasformata di Fourier, perché certe distribuzioni proprio non possono essere trasformate. Esempio classico: [tex]u(t)=\text{exp}(t)[/tex]. Come sappiamo è [tex]u'(t)=u(t)[/tex]. Se fosse possibile trasformare, dal teorema di derivazione dovremmo ricavare questa identità: [tex](i 2\pi f)\hat{u}=\hat{u}[/tex], ovvero [tex](1-i 2 \pi f)\hat{u}=0[/tex] e quindi [tex]\hat{u}=0[/tex], perché il polinomio [tex](1-i 2 \pi f)[/tex] non ha zeri reali. Ma allora arriviamo alla contraddizione [tex]\exp\equiv 0[/tex].
Questo è detto proprio alla buona, eh. Tanto per dare una idea. Una discreta referenza è (IMHO) il libro di Gilardi Analisi 3, ma attenzione a non perderti perché è un po' incasinato.
ok, diciamo che ho afferrato l'idea grazie mille per le ottime risposte 
grazie mille per le ottime risposte
Bella spiegazione, dissonance. Complimenti! 
Grazie mille dei complimenti, ragazzi!!! 
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