Criterio di D'Alembert
Nello studiare la convergenza della seguente serie $sum_(n=1)^(oo) (2*5*8*...(3n-1))/(1*5*9*...(4n-3))$ sono pervenuto al seguente limite $lim_(n -> oo) (12n^2-n-6)/(12n^2-n-1)=1$.In questo caso il criterio non è in grado di stabilire il comportamento della serie e quindi si deve ricorrere ad un altro metodo.Potete consigliarmene uno?
Risposte
Suppongo tu abbia usato il criterio del rapporto. Però ho un dubbio: se [tex]$a_n=\frac{\prod_{k=1}^n (3k-1)}{\prod_{k=1}^n(4k-3)}$[/tex] allora
[tex]$a_{n+1}=\frac{\prod_{k=1}^{n+1} (3k-1)}{\prod_{k=1}^{n+1} (4k-3)}=\frac{\prod_{k=1}^n (3k-1)\cdot[3(n+1)-1]}{\prod_{k=1}^n(4k-3)\cdot[4(n+1)-3]}=a_n\cdot\frac{3n+2}{4n+1}$[/tex]
e quindi
[tex]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{4n+1}=\frac{3}{4}<1$[/tex]
e quindi la serie risulta convergente. Non capisco come hai ottenuto quel limite.
[tex]$a_{n+1}=\frac{\prod_{k=1}^{n+1} (3k-1)}{\prod_{k=1}^{n+1} (4k-3)}=\frac{\prod_{k=1}^n (3k-1)\cdot[3(n+1)-1]}{\prod_{k=1}^n(4k-3)\cdot[4(n+1)-3]}=a_n\cdot\frac{3n+2}{4n+1}$[/tex]
e quindi
[tex]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{4n+1}=\frac{3}{4}<1$[/tex]
e quindi la serie risulta convergente. Non capisco come hai ottenuto quel limite.
Esplicita i passaggi, a me usando lo stesso criterio viene un limite differente..
"pater46":
Esplicita i passaggi, a me usando lo stesso criterio viene un limite differente..
Immagino che tu ottenga quello che ottengo io!
Allora il mio non è un dubbio, è una certezza!
Mmm io ho ragionato così:
$a_(n+1) = \frac{(3n+2)!}{(4n+1)!}$
Per cui
$lim_(oo) a_(n+1)/a_n = lim_(oo) \frac{ (3n+2)! \cdot (4n-3)! }{ (3n-1)! \cdot (4n+1)! } = lim_(oo) \frac{ 3n \cdot (3n+1) \cdot (3n+2) }{ (4n-2) cdot (4n-1) cdot 4n cdot (4n+1) } \approx lim_(oo) (3^3n^3)/(4^4n^4) = 0$
Il risultato è lo stesso, tuttavia il procedimento differisce... dove ho toppato?
$a_(n+1) = \frac{(3n+2)!}{(4n+1)!}$
Per cui
$lim_(oo) a_(n+1)/a_n = lim_(oo) \frac{ (3n+2)! \cdot (4n-3)! }{ (3n-1)! \cdot (4n+1)! } = lim_(oo) \frac{ 3n \cdot (3n+1) \cdot (3n+2) }{ (4n-2) cdot (4n-1) cdot 4n cdot (4n+1) } \approx lim_(oo) (3^3n^3)/(4^4n^4) = 0$
Il risultato è lo stesso, tuttavia il procedimento differisce... dove ho toppato?
Guarda che mica è vero ciò che hai scritto, pater. Il termine generale della serie non lo puoi porre come fattoriale: altrimenti sarebbe:
[tex]$a_n=\frac{(3n-1)!}{(4n-3)!}=\frac{(3n-1)(3n-2)(3n-3)\cdot\ldots\cdot 4\cdot3\cdot2\cdot1}{(4n-3)(4n-4)(4n-5)\cdot\ldots\cdot 4\cdot3\cdot2\cdot1}$[/tex]
che come vedi è diverso dal termine generale scritto da Webster.
[tex]$a_n=\frac{(3n-1)!}{(4n-3)!}=\frac{(3n-1)(3n-2)(3n-3)\cdot\ldots\cdot 4\cdot3\cdot2\cdot1}{(4n-3)(4n-4)(4n-5)\cdot\ldots\cdot 4\cdot3\cdot2\cdot1}$[/tex]
che come vedi è diverso dal termine generale scritto da Webster.
Oh, hai ragione! Mi ero lasciato ingannare dai termini esplicitati, erroraccio. Grazie ciampax!
Avete ragione.Ho fatto un grave errore concettuale.Grazie per l'aiuto
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