Criterio di convergenza integrale
se devo calcolare la convergenza dell'integrale $\int_2^(+oo)(1-cos(1/x))dx$ con il criterio dell'ordine di infinitesimo come faccio?
sul mio testo si intende avere $f(x)$ come infinitesimo per $x->+oo$ e una volta soddisfatte queste ipotesi (in questo esempio lo sono) cercare l'ordine rispetto a $1/x$.
l'ordine risulterebbe $2$ ma sinceramente a me risulta uno 0... qualche idea?
sul mio testo si intende avere $f(x)$ come infinitesimo per $x->+oo$ e una volta soddisfatte queste ipotesi (in questo esempio lo sono) cercare l'ordine rispetto a $1/x$.
l'ordine risulterebbe $2$ ma sinceramente a me risulta uno 0... qualche idea?
Risposte
nessuna idea?
che io sappia il criterio ti permette di definire se è convergente o divergente.. non il risultato dell'integrale stesso..cmq devi afre il limite al fine di trovare la funzione asintotica che in questo caso è 1/(2*x^2) e poichè l'integrale della seguente funzione converge,allora per il criteriod el confronto asinotico, anche l'integrale precedente converge..
intendevo che l'ordine era $2$.... appunto, come fai A ricavarti che l'ordine è $2$? quello è il problema...
a +oo $1-cos(1/x)$ è un infinitesima di ordine 2 che è maggiore di 1 quindi è sommabile
come fai a sapere che è di ordine due? hai fatto il limite della funzione fratto $1/x$?
$1-cos(1/x)$ è pari a 1/2 se diviso per $(1/x^2)$ perke è un limite notevole significa che va come x^2
ma indipendentemente dal limite notevole, che avevo trovato, facendo in altro modo verrebbe? o il limite notevole è l'unica via?
dividendo per $1/x$ verrebbe $1/(1/x)-(cos(1/x)/(1/x))$ no? e poi $x-cos(1/x)/(1/x)$... ora? ad occhio viene un $+oo -oo$... indeterminata...
dividendo per $1/x$ verrebbe $1/(1/x)-(cos(1/x)/(1/x))$ no? e poi $x-cos(1/x)/(1/x)$... ora? ad occhio viene un $+oo -oo$... indeterminata...
ok, ho risolto, e mi viene $1/2$... e sul libro, ottenuto questo risultano dice che $f(x)$ è di ordine $2$ rispetto a $1/x$... com'è possibile?
Le cose stanno così:
1. 1-cos(1/x) per x che tende a +infinito tende a 0 , quindi è soddisfatta la condizione necessaria perchè la funzione sia integrabile in un intorno di +infinito
2. l'ordine di infinitesimo di 1-cos(1/x) è il valore che devi dare al parametro k perchè il limite per x che tende a +infinito di (1-cos(1/x))/(1/x)^k sia FINITO E DIVERSO DA ZERO. Il vlaore di k cercato è 2, quindi l'ordine di infinitesimo della funzione f(x) è 2 (è giusto quanto scritto sul tuo libro!). Per trovare il valore di k basta che esegui la sostituzione 1/x=t e ti riconduci al limite (1-cost)/t^k per t che tende a 0, limite notevole che, come è noto, è finito e diverso da zero (uguale a 1/2) se e solo se k =2 .
1. 1-cos(1/x) per x che tende a +infinito tende a 0 , quindi è soddisfatta la condizione necessaria perchè la funzione sia integrabile in un intorno di +infinito
2. l'ordine di infinitesimo di 1-cos(1/x) è il valore che devi dare al parametro k perchè il limite per x che tende a +infinito di (1-cos(1/x))/(1/x)^k sia FINITO E DIVERSO DA ZERO. Il vlaore di k cercato è 2, quindi l'ordine di infinitesimo della funzione f(x) è 2 (è giusto quanto scritto sul tuo libro!). Per trovare il valore di k basta che esegui la sostituzione 1/x=t e ti riconduci al limite (1-cost)/t^k per t che tende a 0, limite notevole che, come è noto, è finito e diverso da zero (uguale a 1/2) se e solo se k =2 .
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo