Criterio di Convergenza Assoluta

[Flamber]

Non ho ben capito il criterio di convergenza assoluta:

$f in R_(loc)([a,+infty))$ tale che $|f|inR([a,+infty))$

allora

$f in R([a,+infty))$ e

$|int_a^(+infty)f(x)dx|≤int_a^(+infty)|f(x)|dx$


Vorrei capirne il significato geometrico, e soprattutto quello puramente algebrico, magari anche con un esempio pratico, perchè il mio libro lo tratta molto velocemente e fa un esempio che onestamente non ho capito.

Grazie a chiunque voglia aiutarmi.

[Noisemaker]

Provo a scriverti la dimostrazione.... forse ti può chiarire un pò le cose ... poi ti mostro un esempio


Criterio della convergenza assoluta
Sia $f $ una funzione definita in $[a,+\infty)$ e integrabile in $[a,\delta],\forall \delta in \mathbb{R};$ se accade che
\begin{align*}
|f(x)|\quad \text{è integrabile in $[a,+\infty),$}
\end{align*}
Allora anche $f(x)$ è integrabile in $[a,+\infty),$ e risulta:
\begin{align*}
\left|\int_a^{+\infty} f(x)\,\,dx \right| \le\int_a^{+\infty} \left|f(x)\right| \,\,dx
\end{align*}

Dimostrazione
Poichè $f$ è integrabile in $[a,\delta],$ tali riulteranno acnhe $ |f|, f_+, f_- ;$ poichè abbiamo che
\begin{align*}
0\le f_+(x)\le|f(x)|,\quad 0\le f_-(x)\le|f(x)|
\end{align*}
ne consegue che, se $|f|$ è integrabile in $[a,+\infty),$ per il teorema del confronto anche $f_+$ ed $f_-$ sono integrabili, e dunque essendo $f=f_+ - f_-,$ anche $f$ risulta integrabile in $[a,+\infty).$ Inoltre risulta:
\begin{align*}
\left|\int_a^{+\infty} f(x)\,\,dx \right| &=\left|\int_a^{+\infty} f_+(x)\,\,dx-\int_a^{+\infty} f_-(x)\,\,dx \right|\\
&\le \left|\int_a^{+\infty} f_+(x)\,\,dx\right|+\left|\int_a^{+\infty} f_-(x)\,\,dx \right|= \int_a^{+\infty} f_+(x)\,\,dx + \int_a^{+\infty} f_-(x)\,\,dx\\
&= \int_a^{+\infty} \left|f(x)\right| \,\,dx
\end{align*}


e' importante notare che, al contrario di quanto accade per l'integrale di Reimann, l'integrabilità di $f$ non implica quella di $|f|.$ Come le serie, gli integrali impropri possono essere convergenti, ma non assolutamente convergenti, cioè può esistere $\int f$ ma non $\int|f|.$


ad esempio, si può dimostrare (integrando per parti) che l’integrale
\begin{align*} \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \,\,dx, to \to\mbox{converge a $\pi/2$}\end{align*}
Converge a $x=\pi /2$, mentre l'integrale
\begin{align*} \int_{0}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x} \,\,dx\to\mbox{Diverge}\end{align*}

graficamente puoi visualizzarlo cosi:



dal grafico puoi osservare che le aree delle "cunette" mantengono sempre la stessa base ma gradualmente le "altezze" diminuiscono man mano che ci si avvicina a $+\infty$ (!), e quindi intuitivamente, sommi aree positive e negative che intuitivamente si annulleranno;



In questo caso invece dal grafico puoi notare come sommi sempre e comunque aree positive, e quindi intuitivamente a forza di sommare quantità positive non puoi che divergere...

[Zero87]

"Flamber":Vorrei capirne il significato geometrico

Te la dico terra-terra l'interpretazione geometrica.

Cos'è $\int_a^\infty f(x)dx$?
E' l'integrale di estremi $a$ e $\infty$ (grazie!).
Ma, geometricamente, cos'è l'integrale (di Riemann)? E' l'area sottesa dalla curva.
Ora, tale area può essere scomposta (come dice l'intervento prima di questo): quando la funzione integranda è negativa, tale area ha segno meno mentre quando è positiva, ha segno più.
L'area totale, dunque, (sempre "detto alla buona") è la somma algebrica di tutte queste aree quindi è una somma algebrica di quantità positive e negative e, come tale, è minore della somma dei moduli di queste singole quantità.

Lo dico leggermente meglio.
$|\int_a^\infty f(x) dx|$ è il modulo di questa somma di quantità positive e negative.
$\int_a^\infty |f(x)dx|$ è, invece, la somma dei moduli di queste aree, cioè quando la funzione è negativa, si rovescia, e diventa positiva così il suo integrale è positivo.

In altre parole $|n_1 + n_2 + ... + n_k| \le |n_1| + |n_2| + ... + |n_k|$, dove, con $n_i$ indico
$\int_a^\infty f_i (x)$ nel quale $f_i (x)$ è la funzione di partenza ristretta all'intervallo dove non cambia segno.
[Mi sa che le ultime due righe peggiorano solo quanto detto...]

Ora, quello che ho detto, per quanto corretto è pur sempre matematicamente maccheronico.


EDIT. Ho visto che Noisemaker ha inserito 2 grafici che rendono l'idea di quello che ho detto.

[Flamber]

Vi ringrazio entrambi per la dimostrazione e per l'esempio.

Mi scuso, ma ora sono fuori casa, appena torno mi dedico alle vostre spiegazioni, e vi faccio sapere