Criterio di continuità funzioni monotòne

[darinter]

Il criterio di continuità per le funzioni monotòna afferma che:
Sia $f(x)$ una funzione monotòna in $[a,b]$ allora $f(x)$ è continua in $[a,b]$ se e solo se l'immagine di $f(x)$ è tutto l'intervallo $[f(a),f(b)]$.

Ma ciò non vale anche per una funzione non monotona?

[rubik2]

se prendi la funzione f in figura nell'intervallo $[0,2]$ l'immagine è l'intervallo $[f(0),f(2)]$ ma la funzione non è continua

[darinter]

giusto...
grazie mille

[gugo82]

Per la precisione l'implicazione:

$f " continua in "[a,b] quad =>quad f([a,b])=[min_([a,b]) f,max_([a,b]) f]$

vale per tutte le funzioni $f$ (ed in particolare se $f$ è monotona si ha $[min_([a,b]) f,max_([a,b]) f]=[min{f(a),f(b)},max{f(a),f(b)}]$); è invece l'implicazione inversa:

$f([a,b])=[min_([a,b]) f,max_([a,b]) f] quad => quad f " continua in "[a,b]$

a valere per le sole funzioni monotone.

[franced]

"darinter":Il criterio di continuità per le funzioni monotòna afferma che:
Sia $f(x)$ una funzione monotòna in $[a,b]$ allora $f(x)$ è continua in $[a,b]$ se e solo se l'immagine di $f(x)$ è tutto l'intervallo $[f(a),f(b)]$.

Ma ciò non vale anche per una funzione non monotona?

Prova a vedere cosa succede con la funzione $f(x) = x^2$ definita sull'intervallo $[-3,3]$.