Criterio di confronto mediante i limiti

el principe
Facendo qualche esercizio sulle serie mi è capitato questo esercizio: [tex]\sum_{n=0}^\infty\frac{ln n}{n^2}[/tex]
e c'è scritto che si può risolvere in 2 modi...o facendo il rapporto tra [tex]an[/tex] e [tex]bn[/tex] dove [tex]an[/tex] è la serie di sopra mentre [tex]bn[/tex] la sceglie il libro ed è [tex]n^\frac{3}{2}[/tex] e quindi poi facendo il rapporto esce [tex]\frac{ln n}{\sqrt{n^2}}[/tex] e applicando il criterio converge...ma perchè [tex]bn[/tex] è uguale a [tex]n^\frac{3}{2}[/tex] ? come si ottiene? si possono assegnare altri valori?
Mentre il secondo metodo è quello di usare il criterio degli infinitesimi però anche qui nella formula [tex]n^p an[/tex] p=3/2...qualcuno mi saprebbe gentilmente spiegare come si ottiene 3/2 e perchè si sceglie questo valore? Grazie in anticipo

Risposte
gac1
Detto a spanne: per "fregare" il logaritmo di basta una potenza piccola a piacere di $n$.
Quindi il termine generale della serie va a $0$ più lentamente di $\frac{1}{n^2}$, ma più velocemente di qualsiasi potenza $\frac{1}{n^p}$ con $p<2$.
Di conseguenza, puoi fare un confronto scegliendo $p=3/2$, che è più piccolo di $2$ ed è sufficiente per dimostrare la convergenza.
Puoi in ogni caso usare qualsiasi esponente $p\in (1,2)$.

el principe
scusa gac ma non ho capito...potresti gentilmente spiegarti meglio? :?:

gac1
Dovresti sapere che $\lim_n \frac{\log n}{n^{1/2}} = 0$, quindi in particolare
$\frac{\log n}{n^{1/2}} \le 1$ definitivamente.

Quindi
$\frac{\log n}{n^2} = \frac{\log n}{n^{1/2}} \cdot \frac{1}{n^{3/2}} \le \frac{1}{n^{3/2}}$ definitivamente.

Al posto di usare $1/2$ e $3/2$ puoi usare qualsiasi coppia $\epsilon$, $2-\epsilon$ con $\epsilon\in (0,1)$.

el principe
ma perchè p deve essere compreso tra 1 e 2?

gac1
Se vuoi dimostrare per confronto che la serie converge, devi maggiorare il termine generale con quello di una serie convergente.
La serie armonica generalizzata $\sum_n \frac{1}{n^p}$ converge per $p>1$, mentre diverge a $+\infty$ se $p\le 1$.

el principe
Il problema e che non riesco a capire quanto deve essere il parametro p...in questo esercizio ad esempio quanto deve esserre?
[tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{3^n-n}[/tex]

gac1
In questo esercizio vedi subito che il termine generale si comporta come quello di una serie geometrica di ragione $1/3$; infatti
$a_n = \frac{1}{3^n-n} = \frac{1}{3^n(1-n 3^{-n})} = (\frac{1}{3})^n \, \frac{1}{1-n 3^{-n}}$.
L'ultima frazione tende a $1$, dal momento che $\lim_n n 3^{-n} = 0$.
Se vuoi usare criteri di confronto, ti conviene usare quello del confronto asintotico con la serie geometrica di termine generale $b_n = (\frac{1}{3})^n$.
Da quanto scritto sopra, vedi infatti che $\lim_n\frac{a_n}{b_n} = 1$, quindi le due serie hanno lo stesso carattere.

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