Criterio di condensazione - Serie
Sul testo che ho io riportano il seguente criterio:
Teorema: Sia $sum_{k=1}^(oo) a_k$ , $a_k > 0$ e $a_k > a_(k+1)$ (con termine generale decrescente).
$sum_{k=1}^(oo) a_k$ convergente $hArr$ $sum_{k=0}^(oo) 2^k a_(2^k)$ convergente.
In alcune dispense ho trovato il seguente enunciato:
Teorema: Sia $sum_{k=1}^(oo) a_k$ , $a_k > 0$ e $a_k > a_(k+1)$ (con termine generale decrescente) e $a_k -> 0$ per $k-> +oo$
1) $sum_{k=1}^(oo) a_k$ convergente $hArr$ $sum_{k=0}^(oo) 2^k a_(2^k)$ convergente.
2) $sum_{k=1}^(oo) a_k$ divergente $hArr$ $sum_{k=0}^(oo) 2^k a_(2^k)$ divergente.
Quest'ultimo teorema fornisce tutte le informazioni del primo criterio riportato, aggiungendo l'ipotesi che $a_k$ sia infinitesimo (che non viene utilizzata per dimostrare il punto (1) ) e dando informazioni sulla divergenza della serie. Secondo voi è corretto o c'è qualcosa che non quadra?
Edit: Nelle dispense non c'è la dimostrazione del punto (2), naturalmente. Altrimenti avrei già chiarito.
Teorema: Sia $sum_{k=1}^(oo) a_k$ , $a_k > 0$ e $a_k > a_(k+1)$ (con termine generale decrescente).
$sum_{k=1}^(oo) a_k$ convergente $hArr$ $sum_{k=0}^(oo) 2^k a_(2^k)$ convergente.
In alcune dispense ho trovato il seguente enunciato:
Teorema: Sia $sum_{k=1}^(oo) a_k$ , $a_k > 0$ e $a_k > a_(k+1)$ (con termine generale decrescente) e $a_k -> 0$ per $k-> +oo$
1) $sum_{k=1}^(oo) a_k$ convergente $hArr$ $sum_{k=0}^(oo) 2^k a_(2^k)$ convergente.
2) $sum_{k=1}^(oo) a_k$ divergente $hArr$ $sum_{k=0}^(oo) 2^k a_(2^k)$ divergente.
Quest'ultimo teorema fornisce tutte le informazioni del primo criterio riportato, aggiungendo l'ipotesi che $a_k$ sia infinitesimo (che non viene utilizzata per dimostrare il punto (1) ) e dando informazioni sulla divergenza della serie. Secondo voi è corretto o c'è qualcosa che non quadra?
Edit: Nelle dispense non c'è la dimostrazione del punto (2), naturalmente. Altrimenti avrei già chiarito.
Risposte
Prova a fare la contronominale del primo teorema, ricordando che una serie a termini positivi è regolare (quindi può convergere oppure divergere positivamente). Nel secondo teorema, ho l'impressione che l'ipotesi aggiunta sia ridondante.
Comunque Seneca quando hai dubbi come questo buttati sul Knopp, dove trovi la risposta con probabilità 1. Vedi un po' se trovi riposta nel paragrafo 14 (§14). Mi pare che proprio la prima proposizione esaurisce la tua richiesta, se capisco bene.
Vi ringrazio entrambi.
@ Mathematico: Era proprio quello che volevo sapere.
@ Dissonance: L'altro ieri ho ordinato il Knopp (il pdf di quel testo è leeeentissimo)! Viene pubblicato dalla Dover.
Ora comunque do un'occhiata.
@ Mathematico: Era proprio quello che volevo sapere.
@ Dissonance: L'altro ieri ho ordinato il Knopp (il pdf di quel testo è leeeentissimo)! Viene pubblicato dalla Dover.
Ora comunque do un'occhiata.
Lo puoi scaricare se vuoi, poi te lo consulti in locale. Ma lo stampano ancora? Non pensavo.
"dissonance":
Lo puoi scaricare se vuoi, poi te lo consulti in locale. Ma lo stampano ancora? Non pensavo.
Oh sì.. Della Dover; ho approfittato perché con i tempi che corrono...
P.S.: E' in locale che va lento.
Prova il .djvu invece del .pdf. Io consulto sempre quello e non lo trovo particolarmente lento. Comunque devi andare a pagina 120.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo