Criterio di condensazione per le serie

[ocram3]

salve. mi sto preparando per l'esame di calcolo integrale ed ho scoperto che negli appunti mi manca la dim del criterio di condensazione di cauchy per le serie. purtroppo ne' sul libro (marcellini-sbordone) ne su internet riesco a trovare niente...spero che qualcuno riesca a darmi una mano.

grazie

ocram

[Camillo]

criterio di condensazione ?????? intendevi forse di convergenza ?

[Sk_Anonymous]

Ciao; se intendi il classico criterio di condensazione, eccolo:

Data una serie di termine generale x_n >0, con x_n decrescente. Poniamo y_n=2^n x_n. La serie degli x_n converge se e solo se la serie degli y_n converge.

Dimostrazione

Se sommi gli x_h da h=2^n fino ad h= 2^(n+1)-1 stai sotto y_n.
Se sommi gli x_h da h=2^(n-1)+1 fino ad h=2^n stai sopra (y_n)/2.

Quindi, se la serie degli y_n converge, allora la somma degli x_h per h da 0 fino a 2^(n+1)-1 sta sotto x_0 + serie degli y_h, per cui la serie degli x_n non puo' divergere.

Se la serie degli y_n diverge positivamente, allora la somma degli x_h per ha da 0 fino a 2^n sta sopra x_0 - (y_0)/2 + 1/2 (somma di y_h per h da 0 a n), quindi la serie degli x_n non puo' convergere.



Riscrivila tu usando i simboli, ma dovrebbe esserci tutto l'indispensabile.

Ciao, Luca.

[ocram3]

grazie mille Luca77, la dimostrazione e' stata molto chiara

(scusate se ci ho messo tanto a rispondere ma sono super impegnato )

grazie ancora..
ocram