Criterio di Cauchy uniforme
Ho finito la teoria delle successioni di funzioni da un pezzo e non riesco ancora a concludere soddisfacentemente la dimostrazione della seguente affermazione
Sia $C:=C^(0)[a,b]$ lo spazio delle funzioni continue da $[a,b]$ in $RR$.
Sia $f:NN->C$ una successione di funzioni.
$(f_n)_(n inNN)$ è di cauchy se e solo se $exists g inC:lim_(n->+infty)||f_n-g||_(infty)=0$
Se $(f_n)$ converge allora $||f_n-f_m||leq||f_n-g||+||f_m-g||$
Quindi comunque preso $epsilon>0$ per opportuni $n,m inNN$ si avrà la tesi.
Il problema è l’altra implicazione.
Intanto $|f_n(x)-f_m(x)|leq||f_n-f_m||,forallx in[a,b]$
Se $(f_n)_(n inNN)$ è di Cauchy chiaramente in ogni punto $x_0 in[a,b]$ si ottiene $(f_n(x_0))_(n inNN)$ una successione di cauchy e quindi $forallx in[a,b]existsl=l(x) inRR:lim_(n->+infty)|f_n(x)-l(x)|=0$
1) tale limite è puntuale?
2) come concludo che la convergenza verso $l$ è uniforme?
Sia $C:=C^(0)[a,b]$ lo spazio delle funzioni continue da $[a,b]$ in $RR$.
Sia $f:NN->C$ una successione di funzioni.
$(f_n)_(n inNN)$ è di cauchy se e solo se $exists g inC:lim_(n->+infty)||f_n-g||_(infty)=0$
Se $(f_n)$ converge allora $||f_n-f_m||leq||f_n-g||+||f_m-g||$
Quindi comunque preso $epsilon>0$ per opportuni $n,m inNN$ si avrà la tesi.
Il problema è l’altra implicazione.
Intanto $|f_n(x)-f_m(x)|leq||f_n-f_m||,forallx in[a,b]$
Se $(f_n)_(n inNN)$ è di Cauchy chiaramente in ogni punto $x_0 in[a,b]$ si ottiene $(f_n(x_0))_(n inNN)$ una successione di cauchy e quindi $forallx in[a,b]existsl=l(x) inRR:lim_(n->+infty)|f_n(x)-l(x)|=0$
1) tale limite è puntuale?
2) come concludo che la convergenza verso $l$ è uniforme?
Risposte
In the mathematical field of analysis, uniform convergence is a type of convergence stronger than pointwise convergence.
Il dubbio però rimane.
Lungi da me dimostrare competenze da analista, ma.. perché? La convergenza uniforme implica quella puntuale.
Io devo dimostrare che se una successione di funzioni è di Cauchy allora esiste una funzione a cui converge uniformemente.
Ma in pratica vuoi dimostrare che è completo? (Cioè un Banach?..)
Si esattamente.
1) Si
2) Per $n,m$ grandi hai $||f_n - f_m||_\infty \le \epsilon$, cioè $|f_n(x) - f_m(x)|\le \epsilon $ per ogni $x \in [a,b]$, ma quindi (permanenza del segno) $|f_n(x)- l(x)|\le \epsilon$ sempre per ogni x da cui si conclude subito. Era qui che avevi dubbi?
2) Per $n,m$ grandi hai $||f_n - f_m||_\infty \le \epsilon$, cioè $|f_n(x) - f_m(x)|\le \epsilon $ per ogni $x \in [a,b]$, ma quindi (permanenza del segno) $|f_n(x)- l(x)|\le \epsilon$ sempre per ogni x da cui si conclude subito. Era qui che avevi dubbi?
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