Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme di una serie

[tinam73]

Ciao ragazzi ,
qualcuno di voi sarebbe così gentile da farmi un esempio (anche il più classico e semplice) di utilizzo del criterio di Cauchy per la convergenza uniforme di una serie?

Per le successioni nessun problema, ma sulle serie non riesco ad utilizzarlo, nel senso che non riesco a trovare quella $n$ sufficientemente grande da permettere che $|a_(n+1)+a_(n+2)+......+a_(n+p)|<\epsilon$.

Fissato un valore di $epsilon$, come si fa a ricavare il valore di $n$?

Grazie

[dissonance]

Ma in genere non applichi direttamente questo criterio. Piuttosto usi il test di Weierstrass che ne è una conseguenza immediata.

[tinam73]

Grazie per la risposta!
ma quindi il criterio di cauchy non lo si utilizza? perchè proprio anche volendo non saprei come fare.

Riusciresti cortesemente a farmi un esempio sfruttando il test di Weierstrass? mi sarebbe molto utile

[dissonance]

Come dimostreresti che la serie $sum_{n=0}^infty(x^n)/(n!)$ converge uniformemente $\forallx\in[-1, 1]$? Semplice: essendo $|(x^n)/(n!)|<=1/(n!)$ ed essendo la serie $sum_{n=0}^infty1/(n!)$ convergente, la prima serie soddisfa il test di Weierstrass e quindi converge uniformemente.

Nota che questo stesso ragionamento avrebbe funzionato con un qualunque intervallo $[a, b]$. Anzi, è una tecnica generale che si può applicare a tutte le serie di potenze.

P.S.: Il criterio di Cauchy, in pratica, di solito non si utilizza direttamente. Ma a livello teorico è essenziale.

[tinam73]

ma quindi il test di weierstrass, alla fin fine è la convergenza totale?
è un criterio del confronto quindi, in cui si confronta la serie da analizzare con una serie convergente conosciuta, la quale deve sempre essere maggiore o uguale alla serie in esame.

[gugo82]

"tinam73":ma quindi il test di weierstrass, alla fin fine, è la convergenza totale?

Esatto.