Criterio di Cauchy
Qualche studente animato da buona volontà potrebbe illustrarmi passo passo la dimostrazione del criterio di Cauchy per le successioni?
In particolare non riesco a capire la seconda parte della dimostrazione: ogni successione di Cauchy è convergente
In particolare non riesco a capire la seconda parte della dimostrazione: ogni successione di Cauchy è convergente
Risposte
Posso suggerirti la funzione cerca del sito? vedrai che di questioni simili ne troverai a iosa, mi sembra che tempo fa scrissi io stesso una dimostrazione. Comunque senza dubbio posso risponderti che in generale non è vero quello che hai scritto, bisogna fare delle ipotesi sull'insieme dei valori. Ciao
si per essere precisi ogni successione reale di Cauchy
Dovresti però essere più esplicito, perchè c'è più di un modo per dimostrare quell'affermazione, e ti ripeto che se usi la funzione cerca, questo è un argomento che ricorre spessissimo nel forum, di risposte ne troverai sicuramente molte.
Comunque la più complessa a mio modo di vedere è quella che non fa uso degli insiemi compatti e dei teoremi ad essi associati, allora negli insiemi dei reali una successione di cauchy è limitata, questo te ne accorgi perchè definitivamente la distanza di due valori qualunque è maggiorabile con una quantità positiva, i restanti termini della successione essendo in quantità finita.
A questo punto devi dimostrare che una successione limitata ammette una sottosuccesione convergente, qui si distinguono due casi:
I) i termini distinti sono finiti
II) i termini distinti sono infiniti
Nel caso (I) avrai che almeno uno dei termini è assunto infinite volte, diversamente avresti una quantità finita di termini(assurdo).
Nel caso (II) hai infiniti termini che sono contenuti in un intervallo (limitato). Cominci a dividere quell'intervallo in due, e da almeno una parte dovresti avere gli infiniti termini, la dimostrazione è in pratica quella di bolzano weistrass per dimostrare che questi termini hanno un punto di accumulazione, se consideri quel punto, costruisci la tua sottosuccessione prendendo il termine che sta all'interno dell'intorno di quel punto e di raggio $1/n$ ed ecco la tua sottosuccessione che converge in quel punto.
Mediante la disguaglianza triangolare dimostri che la successione di cauchy converge e non può che avere quel limite.
Comunque la più complessa a mio modo di vedere è quella che non fa uso degli insiemi compatti e dei teoremi ad essi associati, allora negli insiemi dei reali una successione di cauchy è limitata, questo te ne accorgi perchè definitivamente la distanza di due valori qualunque è maggiorabile con una quantità positiva, i restanti termini della successione essendo in quantità finita.
A questo punto devi dimostrare che una successione limitata ammette una sottosuccesione convergente, qui si distinguono due casi:
I) i termini distinti sono finiti
II) i termini distinti sono infiniti
Nel caso (I) avrai che almeno uno dei termini è assunto infinite volte, diversamente avresti una quantità finita di termini(assurdo).
Nel caso (II) hai infiniti termini che sono contenuti in un intervallo (limitato). Cominci a dividere quell'intervallo in due, e da almeno una parte dovresti avere gli infiniti termini, la dimostrazione è in pratica quella di bolzano weistrass per dimostrare che questi termini hanno un punto di accumulazione, se consideri quel punto, costruisci la tua sottosuccessione prendendo il termine che sta all'interno dell'intorno di quel punto e di raggio $1/n$ ed ecco la tua sottosuccessione che converge in quel punto.
Mediante la disguaglianza triangolare dimostri che la successione di cauchy converge e non può che avere quel limite.
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