Criterio di Abel

Webster
Ho un dubbio sulla dimostrazione del criterio di Abel;nella sua ultima parte esso afferma che se una serie di potenze diverge per un certo valore $alpha$ allora essa sarà divergente per $|x|>|alpha|$ ma per dimostrarlo richiama la prima parte del teorema che si riferisce a $|x|<|alpha|$.Potreste spiegarmi perchè posso utilizzare la prima parte del criterio per dimostrare la seconda nonostante trattino due intervalli differenti?

Risposte
robbstark1
E' una dimostrazione per assurdo.
Nella prima parte mostri che se la serie converge per un certo valore $alpha$ allora converge per tutti gli $x$ tali che $|x| < |alpha|$.

Ora supponiamo che per un certo $beta$ (cambio nome per non fare confusione) la serie diverge. Vuoi dimostrare che allora diverge per tutti gli $x$ tali che $|x|>|beta|$.
Per assurdo supponi che non sia vero, e ciòè che esista un certo valore $alpha$ tale che $|alpha|>|beta|$ e che la serie converga. Allora, per la prima parte del teorema, deve convergere per tutti gli $x$ tali che $|x| < |alpha|$, ma essendo $|beta|<|alpha|$ la serie deve allora convergere per $beta$, il che contraddice l'ipotesi.

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.