Criterio della Radice e del Rapporto

[MMarco1]

Buongiorno a tutti.
Lo so, il tema è stato discusso tante volte...
Valutando la convergenza delle serie definitivamente positive, è noto che il cirterio della redice è più "forte" di quello del rapporto, nel senso che se il secondo criterio è "inconcludente" (L=1), il primo potrebbe invece risultare conclusivo.

Quello che non sono riuscito a trovare è un esempio!

Qualcuno potrebbe gentilmente sottopormi un esempio illustrativo della "maggior forza" del criterio della radice?

Grazie

[ValeForce]

Ciao MMarco!
Prova questa
$$ \sum_{n=1}^\infty 2^{-n+(-1)^{n+1}}$$

[anto_zoolander]

Ma chi te l'ha detta questa cosa?

quando $lim_(n->+infty)abs(a_(n+1))/(abs(a_n))$ e $lim_(n->+infty)root(n)(abs(a_n))$ esistono essi coincidono

da loro dipende il raggio di convergenza della serie $sum_(n=0)^(+infty)a_n x^n$

[gugo82]

"anto_zoolander":Ma chi te l'ha detta questa cosa?

Qualche importante teorema sulle successioni… Vedi Knopp, Theory of Infinite series.

"anto_zoolander":quando $lim_(n->+infty)abs(a_(n+1))/(abs(a_n))$ e $lim_(n->+infty)root(n)(abs(a_n))$ esistono essi coincidono

Appunto.
Ma ci sono casi in cui il secondo esiste ed il primo no. Proprio questo rende il criterio della radice più generale di quello del rapporto.

"anto_zoolander":da loro dipende il raggio di convergenza della serie $sum_(n=0)^(+infty)a_n x^n$

No.
Il r.d.c. dipende da \(l := \operatorname{maxlim} \sqrt[n]{|a_n|}\) mediante la relazione $rho = 1/l$ (da interpretarsi nel consueto senso generalizzato quando $l=0, +oo$): questo è il Teorema di Cauchy & Hadamard.

[anto_zoolander]

che poi sono pure scemo
ho scritto "quando esistono entrambi" non riflettendo che uno dei due potesse non esistere.

chiedo venia.

PS: grazie per il testo

[MMarco1]

Vi ringrazio per il tempo che mi avere dedicato.
Proprio ingegnosa la serie proposta per illustrare la non completa equivalenza dei due criteri!

Buona giornata