Criterio del rapporto per le serie e int generalizzato
Qualcuno mi spiegherebbe perchè, anche se la serie armonica semplice soddisfa le ipotesi del criterio del rapporto (a(n+1)/a(n)<1, a(n) positivo per ogni n) è comunque divergente?
Il mio libro dice che il criterio del rapporto non si applica alle serie a termini razionali. Allora che criterio è se non è generale?
Poi volevo anche chiedere se qualcuno poteva determinare la convergenza o meno di questo int generalizzato:
$ int_(2)^(3) 1/sin (pi x) dx $
Il libro lo risolve dicendo che "poichè il seno si annulla almeno del 1 ordine in 2 e 3, l'integranda ha un infinito del 1 ordine in 2 e 3, perciò l'integrale diverge".
Solo che il mio prof non ha spiegato questo metodo, non c'è un modo per risolverlo con i criteri del confronto e del confronto asintotico?
Il mio libro dice che il criterio del rapporto non si applica alle serie a termini razionali. Allora che criterio è se non è generale?
Poi volevo anche chiedere se qualcuno poteva determinare la convergenza o meno di questo int generalizzato:
$ int_(2)^(3) 1/sin (pi x) dx $
Il libro lo risolve dicendo che "poichè il seno si annulla almeno del 1 ordine in 2 e 3, l'integranda ha un infinito del 1 ordine in 2 e 3, perciò l'integrale diverge".
Solo che il mio prof non ha spiegato questo metodo, non c'è un modo per risolverlo con i criteri del confronto e del confronto asintotico?
Risposte
azz le formule leggi qui (cliccami)
per quanto riguarda la tua prima domanda tu hai la serie $\sum_(n=1)^(+\infty) 1/n^\alpha$
questa è la serie armonica generalizzata che CONVERGE solo quando $\alpha>1$
ci sono vari modi per dimostrarlo. Quella serie è divergente se $\alpha \leq 1$
perchè se $\alpha=1$ diventa $\sum_(n=1)^(+\infty) 1/n$ e anche qui ci sono diversi modi. Quello più semplice (a mio parere) è farlo con l'integrale generalizzato, qui lo posso fare perchè il termine generale della serie è monotono decrescente.
Quindi $\int_(1)^(+\infty) 1/x dx=\lim_(x\to +\infty) \int_(1)^(x)1/x dx=\lim_(x\to +\infty) \ln(x)-\ln(1)=+\infty$
per quanto riguarda la tua prima domanda tu hai la serie $\sum_(n=1)^(+\infty) 1/n^\alpha$
questa è la serie armonica generalizzata che CONVERGE solo quando $\alpha>1$
ci sono vari modi per dimostrarlo. Quella serie è divergente se $\alpha \leq 1$
perchè se $\alpha=1$ diventa $\sum_(n=1)^(+\infty) 1/n$ e anche qui ci sono diversi modi. Quello più semplice (a mio parere) è farlo con l'integrale generalizzato, qui lo posso fare perchè il termine generale della serie è monotono decrescente.
Quindi $\int_(1)^(+\infty) 1/x dx=\lim_(x\to +\infty) \int_(1)^(x)1/x dx=\lim_(x\to +\infty) \ln(x)-\ln(1)=+\infty$
"hannabeth":
Qualcuno mi spiegherebbe perchè, anche se la serie armonica semplice soddisfa le ipotesi del criterio del rapporto (a(n+1)/a(n)<1, a(n) positivo per ogni n) è comunque divergente?
Infatti il criterio del rapporto non viene enunciato così, perché così non funziona.
Un enunciato corretto è il seguente:
Sia \(\sum a_n\) una serie reale a termini definitivamente $>0$ (o $<0$).
Se esiste un \(\lambda <1\) tale che si abbia:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \lambda
\]
definitivamente (cioé per ogni $n$ "sufficientemente grande"), allora la serie converge.
Viceversa, se esiste un $l\geq 1$ tale che si abbia:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq l
\]
definitivamente, allora la serie diverge.
"hannabeth":
Il mio libro dice che il criterio del rapporto non si applica alle serie a termini razionali. Allora che criterio è se non è generale?
Probabilmente avrai interpretato male.
"hannabeth":
Poi volevo anche chiedere se qualcuno poteva determinare la convergenza o meno di questo int generalizzato:
$int_2^3 1/(sin(pi*x))dx$
Il libro lo risolve dicendo che "poichè il seno si annulla almeno del 1 ordine in 2 e 3, l'integranda ha un infinito del 1 ordine in 2 e 3, perciò l'integrale diverge".
Solo che il mio prof non ha spiegato questo metodo, non c'è un modo per risolverlo con i criteri del confronto e del confronto asintotico?
Mmhh..forse,posto $t=(x/2-1)*pi$,potrebbe esserti utile
(evito un maggiore formalismo e vado al punto pratico che,una volta compreso quest'ultimo,
a tornare indietro e far le cose per bene sarà più semplice)
osservare che $int_2^3 1/(sin(pi*x))dx=int_0^(1/2 pi) 1/(sin(2t))*2/(pi) dt$ e procedere per confronto,asintotico o "classico",con $1/t$:
saluti dal web.
"21zuclo":
azz le formule leggi qui (cliccami)
Scusa, ho modificato.
Allora innanzitutto ringrazio theras, ho capito la divergenza per $ t rarr 0 $ , però non riesco a dimostrare quella per $ t rarr pi /2 $.
"gugo82":
[quote="hannabeth"]Il mio libro dice che il criterio del rapporto non si applica alle serie a termini razionali. Allora che criterio è se non è generale?
Probabilmente avrai interpretato male.[/quote]
Cito il mio libro:
"Se la convergenza di una serie è assicurata dal criterio del rapporto, allora la successione dei termini di questa deve tendere a 0 in maniera esponenziale. Pertanto non vi è alcuna possibilità di applicare con profitto questo criterio a serie la cui successione dei termini sia razionale, come ad esempio le serie armoniche."
Quello che non ho capito non è il perchè la serie armonica semplice diverge, fin lì ci siamo. Non capisco come sia possibile, però, che diverga se soddisfa le ipotesi del criterio del rapporto. Allora non è un criterio generale, forse c'è qualcosa che mi sono persa nelle ipotesi.
Cioè se io faccio $ 1/100001 -: 1/100000 $ (che sarebbe a(n+1)/a(n), per n molto grandi) è minore di 1. Poi i termini della serie armonica semplice sono sempre positivi, quindi le ipotesi del criterio non sono soddisfatte? Allora perchè diverge? Non mi interessano altri metodi che dimostrino la divergenza della serie armonica semplice, vorrei sapere dove sbaglio nell'applicare il criterio del rapporto.
"hannabeth":
[quote="gugo82"][quote="hannabeth"]Il mio libro dice che il criterio del rapporto non si applica alle serie a termini razionali. Allora che criterio è se non è generale?
Probabilmente avrai interpretato male.[/quote]
Cito il mio libro:
"Se la convergenza di una serie è assicurata dal criterio del rapporto, allora la successione dei termini di questa deve tendere a 0 in maniera esponenziale. Pertanto non vi è alcuna possibilità di applicare con profitto questo criterio a serie la cui successione dei termini sia razionale, come ad esempio le serie armoniche."[/quote]
Ed il tuo libro ha perfettamente ragione... Sono stato io a leggere male la tua affermazione.
"hannabeth":
Quello che non ho capito non è il perchè la serie armonica semplice diverge, fin lì ci siamo. Non capisco come sia possibile, però, che diverga se soddisfa le ipotesi del criterio del rapporto. Allora non è un criterio generale, forse c'è qualcosa che mi sono persa nelle ipotesi.
Quanto alla validità del criterio, nessuno cerca di contrabbandarti tale risultato come panacea per tutti i tuoi problemi con le serie.
Anche perché non esiste alcun criterio di convergenza per le serie che sia possibile applicare in tutti i casi (a parte il criterio di Cauchy, che però è solo uno strumento teorico, perché nella pratica è inapplicabile).
"hannabeth":
Cioè se io faccio $ 1/100001 -: 1/100000 $ (che sarebbe a(n+1)/a(n), per n molto grandi) è minore di 1. Poi i termini della serie armonica semplice sono sempre positivi, quindi le ipotesi del criterio non sono soddisfatte? Allora perchè diverge? Non mi interessano altri metodi che dimostrino la divergenza della serie armonica semplice, vorrei sapere dove sbaglio nell'applicare il criterio del rapporto.
La serie armonica non soddisfa l'ipotesi della parte di convergenza né quella della parte di divergenza del criterio.
Infatti non esiste alcun \(\lambda <1\) per cui valga una stima del tipo:
\[
\frac{n}{n+1}<\lambda \qquad \text{per tutti gli } n \text{ "sufficientemente grandi";}
\]
e parimenti non esiste alcun \(l\geq 1\) per cui valga una stima del tipo:
\[
\frac{n}{n+1}\geq l \qquad \text{per tutti gli } n \text{ "sufficientemente grandi".}
\]
Si ok ci sono arrivata, grazie! A proposito dell'integrale qualcuno può aiutarmi?
Per l'integrale, il libro sta confrontando in maniera sintetica l'integrando coi campioni:
\[
\frac{1}{|x-2\pi|} \qquad \text{e} \qquad \frac{1}{|x-3\pi|}\; .
\]
\[
\frac{1}{|x-2\pi|} \qquad \text{e} \qquad \frac{1}{|x-3\pi|}\; .
\]
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