Criterio del rapporto, ha significato in questo caso?
Il criterio del rapporto applicato ad una successione permette di capire se tende a zero o infinito, rispettivamente nel caso il rapporto sia < 1 o > 1.
Se il rapporto stesso prende valori "particolari", come zero o infinito, è comunque valido il criterio? O il criterio è applicabile solo per valori del rapporto nell'intervallo aperto (0, inf)?
Se il rapporto stesso prende valori "particolari", come zero o infinito, è comunque valido il criterio? O il criterio è applicabile solo per valori del rapporto nell'intervallo aperto (0, inf)?
Risposte
Ciao, non ti so rispondere al volo, ci devo riflettere un attimo.
Sicuramente, detta $(a_n)_n$ la successione, se $a_n = 0$ (o anche se $a_n = oo$ (che è brutto da scrivere così)) per un numero finito di $n$, allora non c'è alcun problema perché il criterio del rapporto, essendo limite per $n->oo$, si intende definitivamente e quindi il numero finito di punti "particolari" non influenzano il limite.
Più strano è invece il caso in cui questo succede per un'infinità numerabile di punti.
Ad esempio:
[tex]b_n = \begin{cases}0 & \mbox{se $n$ pari} \\ (\frac 1 2)^n & \mbox{se $n$ dispari}\end{cases}[/tex]
Chiaramente è convergente a zero, ma [tex]\frac{b_{n+1}}{b_n} = \begin{cases} 0 & \mbox{se $n$ dispari} \\ \infty \mbox{ (nel senso di non definita)} & \mbox{se $n$ pari} \end{cases}[/tex], quindi il limite per il criterio del rapporto non esiste neanche.
Sicuramente, detta $(a_n)_n$ la successione, se $a_n = 0$ (o anche se $a_n = oo$ (che è brutto da scrivere così)) per un numero finito di $n$, allora non c'è alcun problema perché il criterio del rapporto, essendo limite per $n->oo$, si intende definitivamente e quindi il numero finito di punti "particolari" non influenzano il limite.
Più strano è invece il caso in cui questo succede per un'infinità numerabile di punti.
Ad esempio:
[tex]b_n = \begin{cases}0 & \mbox{se $n$ pari} \\ (\frac 1 2)^n & \mbox{se $n$ dispari}\end{cases}[/tex]
Chiaramente è convergente a zero, ma [tex]\frac{b_{n+1}}{b_n} = \begin{cases} 0 & \mbox{se $n$ dispari} \\ \infty \mbox{ (nel senso di non definita)} & \mbox{se $n$ pari} \end{cases}[/tex], quindi il limite per il criterio del rapporto non esiste neanche.
il criterio del rapporto afferma: sia $a_n$ una successione per cui definitivamente valga $a_n>0$. supponiamo che esista finito o infinito il
$ lim_(n -> oo )a_(n+1)/a_n=q $
se q<1, allora $ lim_(n -> oo )a_n=0 $ se q>1 allora $ lim_(n -> oo )a_n=+oo $ nulla invece si può dire se q=1. quindi, sotto queste ipotesi, dato che si applica solo a successioni definitamente strettamente maggiori di zero non può darti come valore q=0. se il limite invece è infinito è sempre maggiore di 1 e quindi la serie diverge.
$ lim_(n -> oo )a_(n+1)/a_n=q $
se q<1, allora $ lim_(n -> oo )a_n=0 $ se q>1 allora $ lim_(n -> oo )a_n=+oo $ nulla invece si può dire se q=1. quindi, sotto queste ipotesi, dato che si applica solo a successioni definitamente strettamente maggiori di zero non può darti come valore q=0. se il limite invece è infinito è sempre maggiore di 1 e quindi la serie diverge.
"victory92":
il criterio del rapporto afferma: sia $a_n$ una successione per cui definitivamente valga $a_n>0$. supponiamo che esista finito o infinito il
$ lim_(n -> oo )a_(n+1)/a_n=q $
se q<1, allora $ lim_(n -> oo )a_n=0 $ se q>1 allora $ lim_(n -> oo )a_n=+oo $ nulla invece si può dire se q=1. quindi, sotto queste ipotesi, dato che si applica solo a successioni definitamente strettamente maggiori di zero non può darti come valore q=0.
Falso.
Applicando il criterio del rapporto alla successione di termine generale \(a_n:=\frac{1}{n!}>0\) si trova:
\[
\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_n \frac{n!}{(n+1)!}=\lim_n \frac{1}{n+1}=0
\]
dunque \(q=0\) anche se tutti i rapporti \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) sono positivi.
hai perfettamente ragione. giusto oggi stavo ragionando su una cosa simile e mi è venuto in mente la fesseria che ho scritto! XD sono tornato sul forum a correggere e fortunatamente ero stato già corretto. spero solo che collimarco abbia letto tutto...
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