Criterio del rapporto e infiniti di ordine crescente

[skeletro1]

ho la successione $a_n=n^b/a^n; b>0; a>1$ e devo far vedere tramite il criterio del rapporto che $n^b$ ha un infinito di ordine inferiore rispetto ad $a^n$ quindi definiamo $b_n=a_(n+1)/a_n$ e se tende a $b<1$ allora $a_n$ tende a zero quindi per $n$ che tende al infinito $n^b adesso il mio problema e capire perché sul testo ha scritto $b_n=a_(n+1)/a_n=(n+1/n)^b*1/a$ io mi son fermato alla semplice sostituzione $b_n=a_(n+1)/a_n=(n+1)^b/a^(n+1)/n^b/a^n$ e non riesco a passare sul risultato del libro.
stessa cosa per $a_n=a^n/(n!)$ e $a_n=(n!)/n^n$

un saluto da skeletro

[skeletro1]

up pls

[gugo82]

[xdom="gugo82"]@skeletro: Ti ricordo, ed è la prima ed ultima volta che lo faccio, che non è consentito uppare i thread prima di 24 ore (cfr. regolamento, 3.4)[/xdom]

Sul testo c'è un errore... Oppure hai riportato male il passaggio.
Infatti è:
\[
\begin{split}
b_n &:= \frac{\frac{(n+1)^b}{a^{n+1}}}{\frac{n^b}{a^n}}\\
&= \frac{(n+1)^b}{n^b}\ \frac{a^n}{a^{n+1}}\\
&= \left( \frac{n+1}{n}\right)^b\ \frac{1}{a}\\
&= \left( 1+\frac{1}{n}\right)^b\ \frac{1}{a}
\end{split}
\]
da cui:
\[
\lim_n b_n = \lim_n \left( 1+\frac{1}{n}\right)^b\ \frac{1}{a} = \frac{1}{a} <1\; .
\]
Lo stesso accade nell'altro caso.

[skeletro1]

chiedo scusa per l'up e ti ringrazio della risposta