Criterio del rapporto

[asromavale1]

sia $ a_n $ una successione a termini positivi.definiamo $ b_n=a_(n+1)/a_n $ .se la successione $ b_n $ convege ad un limite $ b<1 $ allora la succesione $ a_n $ tende a zero.
dimostazione :
per il teorema della permanenza del segno(applicato alla successione $ 1-b_n $ ),esiste un indice $ v $ per cui $ b_n<1AA n>v $ .quindi $ a_(n+1)/a_n<1 $ cioè $ a_(n+1)v $ .il teorema sulle successioni montone assicura l'esistenza del limite $ a $ che è un numero reale positivo dato che la successione è decrescente.dalla relazione $ b_n=a_(n+1)/a_n $ per $ nrarr +oo $ si ottiene $ b=a/a $ se fosse $ a!= 0 $ ,semplificando otterremmo l'assurdo $ b=1 $ ,quindi deve essere $ a=0 $ .
due punti non mi sono chiari:
1) perchè dice che $ a $ è un numero reale positivo essendo la successione decrescente?
2)nell' ultimo passaggio non dovrei porre $ a!= 0 $ perchè si trova a denominatore?

[dissonance]

1) Perché per ipotesi $a_n\ge 0$. E' ancora il teorema della permanenza del segno.

2) Non lo hai detto benissimo, infatti. Devi supporre per assurdo che sia \(a>0\) e procedere da lì, arrivando ad una contraddizione. Alla fine troverai che \(a\) deve necessariamente essere uguale a \(0\).

[asromavale1]

dubbi chiariti grazie