Criterio del confronto per integrali impropri di prima specie.
Salve, è da tanto che chiedo e non riesco a venire a capo di questo problema.
Non capisco perchè il criterio del confronto asintotico per integrali con estremo di inegrazione illimitato non funzioni.
Lo avevo esposto in maniera completa qui, ma forse meglio riproporlo meglio dato che uppo da mesi senza risultato.
Io ho applicato il criterio:
all'integrale
$\int_{0}^{+oo} (x/(1+x^3)) dx $
usando
$g(x)=1/x^2>0 $ per ogni $x \in [0,+oo)$
con ovviamente
$f(x)= (x/(1+x^3)) >= 0 $ per ogni $x \in [0,+oo)$
e con il rapporto dei limiti finito.
Applico il criterio passo per passo, ed essendo l'integrale di g(x) divergente, allora lo deve essere anche f(x).
Tuttavia f(x) converge.
Nel post precedente mi è stato detto che è così in quanto non considero l'estremo inferiore di integrazione che è 0..
eppure il criterio non accenna a nulla del genere!
Cosa è che sbaglio? E' il criterio a essere incompleto?
Il criterio non accenna al fatto che l'estremo inferiore non debba essere considerato.
Grazie!
Non capisco perchè il criterio del confronto asintotico per integrali con estremo di inegrazione illimitato non funzioni.
Lo avevo esposto in maniera completa qui, ma forse meglio riproporlo meglio dato che uppo da mesi senza risultato.
Io ho applicato il criterio:
all'integrale
$\int_{0}^{+oo} (x/(1+x^3)) dx $
usando
$g(x)=1/x^2>0 $ per ogni $x \in [0,+oo)$
con ovviamente
$f(x)= (x/(1+x^3)) >= 0 $ per ogni $x \in [0,+oo)$
e con il rapporto dei limiti finito.
Applico il criterio passo per passo, ed essendo l'integrale di g(x) divergente, allora lo deve essere anche f(x).
Tuttavia f(x) converge.
Nel post precedente mi è stato detto che è così in quanto non considero l'estremo inferiore di integrazione che è 0..
Il punto dove sbagli è che il tuo integrale non è improprio in 0, mentre l'integrale di g(x) lo è e diverge.
eppure il criterio non accenna a nulla del genere!
Cosa è che sbaglio? E' il criterio a essere incompleto?
Il criterio non accenna al fatto che l'estremo inferiore non debba essere considerato.
Grazie!
Risposte
C'è un piccolo problema nella scelta di $g(x)=\frac{1}{x^2}$ che è ben definita in $(0,+\infty)$, ma non in $[0,+\infty).$
In realtà questo piccolo intoppo può essere facilmente aggirato se usi a dovere le proprietà degli integrali.
Prova così:
$\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{1+x^3}dx=\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^3}dx+\int_{1}^{+\infty}\frac{x}{1+x^3}dx$
Il primo integrale al secondo membro converge (perché?); il comportamento del secondo può essere stabilito con il criterio del confronto asintotico.
In realtà questo piccolo intoppo può essere facilmente aggirato se usi a dovere le proprietà degli integrali.
Prova così:
$\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{1+x^3}dx=\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^3}dx+\int_{1}^{+\infty}\frac{x}{1+x^3}dx$
Il primo integrale al secondo membro converge (perché?); il comportamento del secondo può essere stabilito con il criterio del confronto asintotico.
"Mathita":
C'è un piccolo problema nella scelta di $g(x)=\frac{1}{x^2}$ che è ben definita in $(0,+\infty)$, ma non in $[0,+\infty).$
Quindi la condizione non verificata era che $g(x)$ dovesse essere positiva anche nell'estremo inferiore, ovvero in 0, il che non è valido.
Inoltre
$int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^3}dx$
converge in quanto, essendo gli estremi di integrazione definiti e limitati, ed avendo la funzione come unico punto di discontinuità $x=-1$, il quale non appartiene all'intervallo di integrazione, l'integrale è proprio.
E gli integrali propri possono solo convergere.
Il secondo integrale
$ \int_{1}^{+\infty}\frac{x}{1+x^3}dx $
invece, avendo un estremo inferiore maggiore a 0, usando $g(x)=1/x^2$ come equivalenza asintotica, allora convergerà.
Una somma tra 2 integrali convergenti, di cui uno propriamente, e uno impropriamente, allora dovrà anche essa convergere.
Giusto?
Grazie!
Più che un problema di segno è un problema di integrabilità. La funzione $g(x)=\frac{1}{x^2}$ non è integrabile in alcun intorno destro di $0$. Viene meno la condizione di locale integrabilità. 
Un commento sul linguaggio: "essendo gli estremi di integrazione definiti e limitati" probabilmente intendevi finiti?
Per il resto, hai usato un giro di parole per affermare che $f(x)=\frac{x}{1+x^3}$ è continua nell'intervallo chiuso e limitato $[0,1]$ e in quanto tale integrabile.
Un commento sul linguaggio: "essendo gli estremi di integrazione definiti e limitati" probabilmente intendevi finiti?
Per il resto, hai usato un giro di parole per affermare che $f(x)=\frac{x}{1+x^3}$ è continua nell'intervallo chiuso e limitato $[0,1]$ e in quanto tale integrabile.
Si, intendevo dire quello.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo