Criterio del confronto integrali impropri

[TS778LB]

Ai fini del mio dubbio consideriamo solo una parte dell'enunciato
Sia data $ f:[a,+\infty)->\RR $ continua ed integrabile in ogni intervallo $ [a,t) $ con $ t>a $. Supponiamo che esista una funzione $ g(x) $ integrabile in $ [a,+\infty) $ e che sia verificata la condizione $ 0\lef(x)\leg(x)\forallx\in[a,+\infty) $. Allora $ f(x) $ è integrabile in $ [a,+\infty) $.
Partendo da $ 0\lef(x)\leg(x)$ segue che $ \int_{a}^{t} f(x)\ dx\le\int_{a}^{t} g(x)\ dx $. Abbreviando $ F(t)\leG(t) $ . Dalla positività delle funzioni di partenza deriva la crescenza delle rispettive funzioni integrali. Per hp $g(x)$ è integrabile in $ [a,+\infty) $. Per definizione esiste finito il $ \lim_{t \to +\infty}G(t)=\int_{a}^{+\infty} g(x)\ dx $. Per il teorema delle funzioni monotone tale limite è uguale all'estremo superiore di $ {\int_{a}^{t} g(x)\ dx}\forallt>a $. Quindi $ F(t)\leG(t)\le\int_{a}^{+\infty} g(x)\ dx $. In definitiva $F(t)$ è crescente e limitata superiormente e quindi ammette limite finito per $t->+\infty$. Il criterio è dimostrato

Se volessi ripetere la dimostrazione partendo da funzioni definite in $(-\infty,a]$, arriverei a $ \lim_{t \to -\infty}G(t)=\int_{-\infty}^{a} g(x)\ dx $. Per il teorema delle funzioni monotone tale limite è uguale all'estremo inferiore di $ {\int_{t}^{a} g(x)\ dx}\forallt

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Risposte

anto_zoolander

20 feb 2019, 03:17

Ciao!

ricordando che $i n fAleqa forall a in A$

$i n f_(t in (-infty,a]){int_(t)^(a)g(x)dx}leqint_(t)^(a)g(x)dxleqint_(t)^(a)f(x)dxleq0, forall t in(-infty,a]$

Da questo segue che $i n f_(t in (-infty,a]){int_(t)^(a)g(x)dx}leqi n f_(t in (-infty,a]){int_(t)^(a)f(x)dx}$

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TS778LB

20 feb 2019, 05:23

"anto_zoolander":

$i n f_(t in (-infty,a]){int_(t)^(a)g(x)dx}leqint_(t)^(a)g(x)dxleqint_(t)^(a)f(x)dxleq0, forall t in(-infty,a]$

La disuguaglianza tra secondo e terzo membro non contraddice l'ipotesi del teorema $0\lef(x)\leg(x)$ ?

"anto_zoolander":

Da questo segue che $i n f_(t in (-infty,a]){int_(t)^(a)g(x)dx}leqi n f_(t in (-infty,a]){int_(t)^(a)f(x)dx}$

In questa parte si giustifica la limitatezza inferiore di $F(t)$ giusto?

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anto_zoolander

20 feb 2019, 12:00

Aspetta forse ho capito male una parte: le funzioni sono sempre positive? Perché ho pensato che volessi dimostrare che lo stesso valesse se $fleq0$ ed esiste una funzione integrabile per cui $gleqfleq0$

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vict85

20 feb 2019, 13:04

La funzione \(\displaystyle \phi( t )\colon [0, \infty) \to \mathbb{R}^+ \) definita come \(\displaystyle \phi( t ) \mapsto \int_{a - t}^{a} g( x)\,dx \) è positiva, crescente e limitata.

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[anto_zoolander]

Ciao!

ricordando che $i n fAleqa forall a in A$

$i n f_(t in (-infty,a]){int_(t)^(a)g(x)dx}leqint_(t)^(a)g(x)dxleqint_(t)^(a)f(x)dxleq0, forall t in(-infty,a]$

Da questo segue che $i n f_(t in (-infty,a]){int_(t)^(a)g(x)dx}leqi n f_(t in (-infty,a]){int_(t)^(a)f(x)dx}$

[TS778LB]

"anto_zoolander":

$i n f_(t in (-infty,a]){int_(t)^(a)g(x)dx}leqint_(t)^(a)g(x)dxleqint_(t)^(a)f(x)dxleq0, forall t in(-infty,a]$

La disuguaglianza tra secondo e terzo membro non contraddice l'ipotesi del teorema $0\lef(x)\leg(x)$ ?

"anto_zoolander":

Da questo segue che $i n f_(t in (-infty,a]){int_(t)^(a)g(x)dx}leqi n f_(t in (-infty,a]){int_(t)^(a)f(x)dx}$

In questa parte si giustifica la limitatezza inferiore di $F(t)$ giusto?

[anto_zoolander]

Aspetta forse ho capito male una parte: le funzioni sono sempre positive? Perché ho pensato che volessi dimostrare che lo stesso valesse se $fleq0$ ed esiste una funzione integrabile per cui $gleqfleq0$

[vict85]

La funzione \(\displaystyle \phi( t )\colon [0, \infty) \to \mathbb{R}^+ \) definita come \(\displaystyle \phi( t ) \mapsto \int_{a - t}^{a} g( x)\,dx \) è positiva, crescente e limitata.