Criterio del confronto asintotico, serie.
Data una serie numerica, per sfruttare il criterio del confronto asintotico devo considerare solo gli elementi di ordine maggiore, p.e. :
$(ln n - n^(1/2))/(5n^4-n)$
ove il termine generale è asintotico a $1/n^(7/2)$, quindi converge.
Quando ci troviamo di fronte espressioni polinomiali complicate da studiare coi "classici" criteri, se è possibile conviene appellarsi a MacLaurin.
Studiamo la serie dal termine generale $a_n$:
$(-1)^n * (n^(5/4)*(e^(n^(-5/4))-1)-1)/(sqrt(n^3+1))$
Studiamone la conv. assoluta altrimenti con Leibniz finiremo domani.
$e$ è elevato ad una quantità infinitesima, quindi possiamo approssimare asintoticamente con MacLaurin, arrestandoci al secondo grado (se ci arrestassimo al primo ordine il numeratore verrebbe nullo).
Infine mi risulta che il termine generale sia asintotico a $1/(2n^(3/2))$, quindi converge.
Qui nasce il mio dubbio. Se scegliessimo di arrestarci a ordini sempre maggiori spunterebbero sempre $n$ elevati a qualcosa sempre più grande. Così potrebbe risultare la serie essere convergente? Che ne dite???
Un altro esempio: $a_n=1-n^(1/3)sin(1/n^(1/3))$. Ne studio la convergenza assoluta. Dato che l'argomento del seno è infinitesimo lo sviluppo con Maclaurin, fino al secondo ordine. $|1-n^(1/3)(1/n^(1/3)-1/6n)|$ che dopo un po' di calcoli verrebbe asintotico a $1/(6n^(2/3))$, dunque non converge assolutamente. E' giusto questo esercizio?
Oppure: $a_n=(n+1)^(1/2)*arctan(1/n)$. Qui affiorano tutte le mie incertezze:se sviluppo l'arcotangente al primo ordine la serie verrebbe divergente (asintotica a $1/n^(1/2)$).
se sviluppo fino al secondo ordine mi spuntano $n$ con esponenti maggiori: $n^(1/2)(1/n -1/(3n^3))$. E cosa significa questo risultato ottenuto?
Altro dubbio:
cosa si intende per polinomio di Taylor della funzione somma della serie geometrica?
Inoltre, provate a dare un'occhiata al secondo esercizio:
http://img179.imageshack.us/my.php?image=xx5dp8.jpg
Non capisco cosa devo fare dopo aver studiato la convergenza della serie geometrica. Quale dominio dovrei calcolarmi?
grazie mille ragazzi
$(ln n - n^(1/2))/(5n^4-n)$
ove il termine generale è asintotico a $1/n^(7/2)$, quindi converge.
Quando ci troviamo di fronte espressioni polinomiali complicate da studiare coi "classici" criteri, se è possibile conviene appellarsi a MacLaurin.
Studiamo la serie dal termine generale $a_n$:
$(-1)^n * (n^(5/4)*(e^(n^(-5/4))-1)-1)/(sqrt(n^3+1))$
Studiamone la conv. assoluta altrimenti con Leibniz finiremo domani.
$e$ è elevato ad una quantità infinitesima, quindi possiamo approssimare asintoticamente con MacLaurin, arrestandoci al secondo grado (se ci arrestassimo al primo ordine il numeratore verrebbe nullo).
Infine mi risulta che il termine generale sia asintotico a $1/(2n^(3/2))$, quindi converge.
Qui nasce il mio dubbio. Se scegliessimo di arrestarci a ordini sempre maggiori spunterebbero sempre $n$ elevati a qualcosa sempre più grande. Così potrebbe risultare la serie essere convergente? Che ne dite???
Un altro esempio: $a_n=1-n^(1/3)sin(1/n^(1/3))$. Ne studio la convergenza assoluta. Dato che l'argomento del seno è infinitesimo lo sviluppo con Maclaurin, fino al secondo ordine. $|1-n^(1/3)(1/n^(1/3)-1/6n)|$ che dopo un po' di calcoli verrebbe asintotico a $1/(6n^(2/3))$, dunque non converge assolutamente. E' giusto questo esercizio?
Oppure: $a_n=(n+1)^(1/2)*arctan(1/n)$. Qui affiorano tutte le mie incertezze:se sviluppo l'arcotangente al primo ordine la serie verrebbe divergente (asintotica a $1/n^(1/2)$).
se sviluppo fino al secondo ordine mi spuntano $n$ con esponenti maggiori: $n^(1/2)(1/n -1/(3n^3))$. E cosa significa questo risultato ottenuto?
Altro dubbio:
cosa si intende per polinomio di Taylor della funzione somma della serie geometrica?
Inoltre, provate a dare un'occhiata al secondo esercizio:
http://img179.imageshack.us/my.php?image=xx5dp8.jpg
Non capisco cosa devo fare dopo aver studiato la convergenza della serie geometrica. Quale dominio dovrei calcolarmi?
grazie mille ragazzi
Risposte
se sviluppo fino al secondo ordine mi spuntano n con esponenti maggiori:
che sono infinitesimi di ordine superiore, e perciò trascurabili per l'equivalenza asintotica. Hai dei dubbi su questo? Io ti consiglio di ragionare in termini di "o-piccolo": $f(x)=o(g(x))$ per $x\toalpha$ se $(f(x))/(g(x))\to0$. Nel caso di funzioni polinomiali, una cosa tipo $(x-alpha)^p$, con $p>q$ è un o-piccolo di $(x-alpha)^q$, come si verifica subito facendo il conto. Non so se sto centrando il problema però.
Scusate se riporto alla luce un vecchio post del sito, ma potrebbe essere la soluzione a tutti i miei dubbi.
Vi spiego:
mi sto approcciando alle serie numeriche, e noto con estremo piacere che riesco a risolvere anche quelle più difficili usando SEMPRE il metodo del confronto asintotico.
In pratica, è come calcolare il limite di una successione. (cosa che mi riesce piuttosto bene)
Ora, voglio capire, è giusto usare questo metodo per OGNI serie che mi capita davanti? (con le dovute accortezze, vedi serie notevoli come geometrica, o armonica generalizzata)
Oppure anche giungendo al risultato giusto la prof. all'esame me lo segnerà come errore?
Grazie a chiunque riesca a risolvermi questo dubbio,
Andrea ~
NB: negli esercizi all'esame chiede solo di determinare il carattere della serie
Vi spiego:
mi sto approcciando alle serie numeriche, e noto con estremo piacere che riesco a risolvere anche quelle più difficili usando SEMPRE il metodo del confronto asintotico.
In pratica, è come calcolare il limite di una successione. (cosa che mi riesce piuttosto bene)
Ora, voglio capire, è giusto usare questo metodo per OGNI serie che mi capita davanti? (con le dovute accortezze, vedi serie notevoli come geometrica, o armonica generalizzata)
Oppure anche giungendo al risultato giusto la prof. all'esame me lo segnerà come errore?
Grazie a chiunque riesca a risolvermi questo dubbio,
Andrea ~
NB: negli esercizi all'esame chiede solo di determinare il carattere della serie
Il criterio asintotico normalmente è utilizzato come criterio di convergenza assoluta.
Forse, riformulando la domanda, specificando meglio le ipotesi, magari ti rispondi anche da solo.
ciao
Forse, riformulando la domanda, specificando meglio le ipotesi, magari ti rispondi anche da solo.
ciao
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