Criterio del confronto asintotico, dubbio teorico

[Bertucciamaldestra]

Penso di non aver capito bene il criterio del confronto asintotico per integrali impropri,
si applica nel momento in cui
1. $f(x) >=0$ e $g(x)>0$
2. $lim_(xto+oo) f(x)/g(x) = l$ con $l∈(0,+oo)$
Ma allora qui non posso applicare il criterio del confronto asintotico per dire che $int_(1) ^(+oo) 1/x$ diverge, dato che per $xto+oo $ il limite fa $0$. Sbaglio qualcosa?

[Berationalgetreal]

A parte che in questo caso non serve il criterio del confronto asintotico (basta integrare e fare il limite), ma poi quali sarebbero per te in questo caso \( f \) e \( g\)? Io vedo una sola funzione; tu hai fatto il limite per \( x \to + \infty\) della funzione integranda, ma basta che guardi ciò che hai scritto poco prima per capire che non è ciò che richiede il criterio

Tra l'altro, per il criterio del confronti asintotico si usano proprio gli integrali di questa forma, che sono notevoli. Mi sembra che gli angolofoni lo chiamino "p-test".

[Bertucciamaldestra]

Perdona l'insensatezza della domanda, è stato stupido da parte mia non riportare l'esercizio completo.

$int_(1) ^(+oo)((root()(x)) + (M(sin(x))))/(root()(x^3) + log(x)) dx$

Volevo applicare questo criterio per questa funzione

$lim_(xto+oo)((root()(x)) + (M(sin(x))))/(root()(x^3) + log(x)) = lim_(xto+oo) 1/x + 0$

Perciò essendo il limite 0 non posso applicarlo?

[donald_zeka]

MA scusa, leggi per bene la definizione di confronto asintotico...se è un "confronto" significa che devi confrontare due cose, no? non puoi confrontare la tua funzione con se stessa...

[Bertucciamaldestra]

La mia domanda è questa:
ho due funzioni $f$ e $g$
1. $f(x) >=0$ e $g(x)>0$
questa condizione è soddisfatta, a questo punto devo vedere il valore del limite, per $xto+oo$ tra le due funzioni

2. $lim_(xto+oo) f(x)/g(x) = l$ con $l∈(0,+oo)$
Se $l∈(0,+oo)$ e $int_(a) ^(+oo) g(x)dx$ diverge positivamente allora anche $int_(a) ^(+oo) g(x)dx $

Ma se provo a calcolare il limite ottengo $0$. Perciò non potrei usare questo escamotage per risolvere l'integrale (cioè calcolare il limite e a seconda del risultato concludere se converge o diverge).

So che $ lim_(xto+oo) 1/x $ diverge, ma mi chiedo perchè risolvendo questo ho il risultato dell'integrale di partenza se non ho la condizione 2 soddisfatta.

[donald_zeka]

Devi calcolare il limite del rapporto tra f(x) e g(x), non il limite di f(x)...è ovvio che la tua funzione integranda tenda a zero, se no non potrebbe convergere.