Criterio del confronto asintotico (di Riemann)

[alfredo14]

Vorrei sapere se il procedimento qui di seguito illustrato è corretto.

La serie in esame, della quale si richiede lo studio del carattere, è la seguente:

$sum_(n=1)^(+oo)(n+sqrt(n))/(n^3+nsqrt(n)+1)$

Poichè risulta:

$lim_(n->oo)(n+sqrt(n))/(n^3+nsqrt(n)+1)=lim_(n->oo)(1/n^(2)+sqrt(1/n^5))/(1+sqrt(1/n^3)+1/n^3)=0$

la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta. Osservando che al denominatore esiste un infinito del terzo ordine che prevale sugli altri termini, scelgo come serie di confronto la serie:

$sum_(n=1)^(+oo)(b_n)=sum_(n=1)^(+oo)(1/n^2)$

serie armonica generalizzata con $alpha=2$.

Eseguo ora il confronto:

$lim_(n->oo)(a_n/b_n)=lim_(n->oo)((n+sqrt(n))/(n^3+nsqrt(n)+1))/(1/n^2)=lim_(n->oo)((n+sqrt(n))/(n^3+nsqrt(n)+1))*n^2$

Sviluppando si ottiene:

$lim_(n->oo)(n^3+n^2*sqrt(n))/(n^3+nsqrt(n)+1)$

Dividendo numeratore e denominatore per il monomio in n di grado maggiore:

$lim_(n->oo)(1+sqrt(1/n))/(1+sqrt(1/n^3)+1/n^3)=1$

Essendo tale limite finito, e convergendo la serie di confronto, la serie data converge anch'essa.

Che ne dite?

Grazie.

[gugo82]

Ok!

La successione degli addendi è infinitesima d'ordine 2: per quanto detto nel thread precedente, la serie converge.

[alfredo14]

Grazie gugo.